Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 2: Phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai mộ..

Bài 9 trang 78 SGK Đại số 10 nâng cao


Chứng minh rằng: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Giả sử phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 và x2.

Chứng minh rằng:  ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2)

Lời giải chi tiết:

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr 
{x_1}.{x_2} = {c \over a} \hfill \cr} \right.\)

Do đó:

\(\eqalign{
& a{x^2} + {\rm{ }}bx + c = 0 \cr& = a({x^2} + {b \over a}x + {c \over a}) \cr&= a\left( {{x^2} - \left( { - \frac{b}{a}} \right)x + \frac{c}{a}} \right)\cr& = a{\rm{[}}{{{x}}^2} - ({x_1} + {x_2})x + {x_1}{x_2}{\rm{]}} \cr 
& = a\left( {{x^2} - {x_1}x - {x_2}x + {x_1}{x_2}} \right) \cr&= a\left[ {\left( {{x^2} - {x_1}x} \right) - \left( {{x_2}x - {x_1}{x_2}} \right)} \right]\cr&= a{\rm{[x(x}}\,{\rm{ - }}\,{{\rm{x}}_1}) - {x_2}(x\, - \,{x_1}){\rm{]}} \cr&= a(x - {x_1})(x - {x_2}) \cr} \)

Cách khác:

Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x1 và x2 thì áp dụng định lý Vi-ét, ta có: 

\(\left\{ \matrix{
{x_1} + {x_2} = - {b \over a} \hfill \cr 
{x_1}.{x_2} = {c \over a} \hfill \cr} \right.\)

Khi đó,

\(\begin{array}{l}
a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\\
= a\left( {{x^2} - {x_1}x - x{x_2} + {x_1}{x_2}} \right)\\
= a\left( {{x^2} - x\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + {x_1}{x_2}} \right)\\
= a\left( {{x^2} - x.\left( { - \frac{b}{a}} \right) + \frac{c}{a}} \right)\\
= a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right)\\
= a{x^2} + bx + c
\end{array}\)

LG b

Áp dụng : phân tích các đa thức sau thành nhân tử

\(f\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }} - 2{x^2}-{\rm{ }}7x{\rm{ }} + {\rm{ }}4;\)

\(g\left( x \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {\sqrt 2 {\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right){x^2}-{\rm{ }}2\left( {\sqrt 2  + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}2\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(f(x) = - 2{x^2} - 7x + 4 = 0 \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr 
x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Do đó: \(a =  - 2,{x_1} =  - 4,{x_2} = \frac{1}{2}\)

Vậy \(f(x) =  - 2(x + 4)(x - {1 \over 2})\)

\( = \left( {x + 4} \right)\left[ { - 2\left( {x - \frac{1}{2}} \right)} \right] \)

\(= \left( {x + 4} \right)\left( { - 2x + 1} \right)\)

\( = (x + 4)(1 - 2x)\)

+) Giải g(x)=0 ta có:

\(\begin{array}{l}
\Delta ' = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^2} - 2\left( {\sqrt 2 + 1} \right)\\
= \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 + 1 - 2} \right)\\
= \left( {\sqrt 2 + 1} \right)\left( {\sqrt 2 - 1} \right)\\
= 2 - 1\\
= 1\\
\Rightarrow {x_1} = \frac{{\sqrt 2 + 1 - 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 + 1}}\\
{x_2} = \frac{{\sqrt 2 + 1 + 1}}{{\sqrt 2 + 1}} = \frac{{\sqrt 2 + 2}}{{\sqrt 2 + 1}}\\
= \frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}}{{\sqrt 2 + 1}} = \sqrt 2
\end{array}\)

Ta có:

\(a = \sqrt 2  + 1;{x_1} = \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + 1}};{x_2} = \sqrt 2 \)

Vậy,

\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = \left( {\sqrt 2  + 1} \right)\left( {x - \frac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2  + 1}}} \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right)\\ = \left[ {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)x - \sqrt 2 } \right]\left( {x - \sqrt 2 } \right)\end{array}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.3 trên 6 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store