Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác

Giải bài 21 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao


Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức

Đề bài

Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác \(ABC\) thỏa mãn hệ thức \(\sin A = 2\sin B.\cos C\) thì \(ABC\) là tam giác cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lí sin trong tam giác để tính sinA, sinB.

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R\)

Sử dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác để tính cosC:

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Thay vào đẳng thức đã cho và biến đổi suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}\\\frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}}\end{array}\)

Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta có:

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Thay vào hệ thức \(\sin A = 2\sin B\cos C\) ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}} = \frac{{2b\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{2R.2ab}}\\ \Leftrightarrow a.2R.2ab = 2R.2b\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow 0 = {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} = {c^2}\\ \Leftrightarrow b = c\end{array}\)

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store