Giải toán 10, giải bài tập Toán 10 Nâng cao, đầy đủ đại số giải tích và hình học Bài 3. Hệ thức lượng trong tam giác

Giải bài 21 trang 65 SGK Hình học 10 nâng cao


Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác ABC thỏa mãn hệ thức

Đề bài

Chứng minh rằng nếu ba góc của tam giác \(ABC\) thỏa mãn hệ thức \(\sin A = 2\sin B.\cos C\) thì \(ABC\) là tam giác cân.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng định lí sin trong tam giác để tính sinA, sinB.

\(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} = 2R\)

Sử dụng hệ quả của định lí cosin trong tam giác để tính cosC:

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Thay vào đẳng thức đã cho và biến đổi suy ra đpcm.

Lời giải chi tiết

Áp dụng định lí sin ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{\sin A}} = 2R \Rightarrow \sin A = \frac{a}{{2R}}\\\frac{b}{{\sin B}} = 2R \Rightarrow \sin B = \frac{b}{{2R}}\end{array}\)

Áp dụng hệ quả của định lí cosin ta có:

\(\cos C = \frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

Thay vào hệ thức \(\sin A = 2\sin B\cos C\) ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{a}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\\ \Leftrightarrow \frac{a}{{2R}} = \frac{{2b\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)}}{{2R.2ab}}\\ \Leftrightarrow a.2R.2ab = 2R.2b\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} = {a^2} + {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow 0 = {b^2} - {c^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} = {c^2}\\ \Leftrightarrow b = c\end{array}\)

Vậy tam giác ABC cân tại A.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.1 trên 8 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

PH/HS Tham Gia Nhóm Lớp 10 Để Trao Đổi Tài Liệu, Học Tập Miễn Phí!

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Vấn đề em gặp phải là gì ?

Hãy viết chi tiết giúp Loigiaihay.com

Cảm ơn bạn đã sử dụng Loigiaihay.com. Đội ngũ giáo viên cần cải thiện điều gì để bạn cho bài viết này 5* vậy?

Vui lòng để lại thông tin để ad có thể liên hệ với em nhé!

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store