Bài 3.67 trang 135 SBT hình học 12


Giải bài 3.67 trang 135 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 0)...

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm  A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 0).

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.

b) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Gọi phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

- Thay tọa độ các điểm \(A,B,C,D\) vào phương trình mặt cầu tìm \(a,b,c,d\).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt cầu (S) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) (*)

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào (*) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2a + d = 0}\\{1 - 2b + d = 0}\\{1 - 2c + d = 0}\\{2 - 2a - 2b + d = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{1}{2}}\\{b = \dfrac{1}{2}}\\{c = \dfrac{1}{2}}\\{d = 0}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x2 + y2 + z2 – x – y – z = 0

b) Ta có \(\overrightarrow {AC}  = ( - 1;0;1)\) và \(\overrightarrow {AD}  = (0;1;0)\)

Suy ra (ACD) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = ( - 1;0; - 1)\) hay \(\overrightarrow {n'}  = (1;0;1)\)

Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là x – 1 + z = 0  hay x + z – 1 = 0

Mặt cầu (S) có tâm  \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)

Ta có \(I \in (ACD)\), suy ra mặt phẳng (ACD) cắt (S) theo một đường tròn có tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) và có bán kính r bằng bán kính mặt cầu (S), vậy:

\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)\( = \sqrt {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Loigiaihay.com

 


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài