Bài 3.67 trang 135 SBT hình học 12


Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm  A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1) và D(1; 1; 0).

a) Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A, B, C, D.

b) Xác định tọa độ tâm và bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Gọi phương trình mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\)

- Thay tọa độ các điểm \(A,B,C,D\) vào phương trình mặt cầu tìm \(a,b,c,d\).

Lời giải chi tiết

a) Phương trình mặt cầu (S) có dạng \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) (*)

Thay tọa độ các điểm A, B, C, D vào (*) ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - 2a + d = 0}\\{1 - 2b + d = 0}\\{1 - 2c + d = 0}\\{2 - 2a - 2b + d = 0}\end{array}} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \dfrac{1}{2}}\\{b = \dfrac{1}{2}}\\{c = \dfrac{1}{2}}\\{d = 0}\end{array}} \right.\)

Vậy phương trình mặt cầu (S) là: x2 + y2 + z2 – x – y – z = 0

b) Ta có \(\overrightarrow {AC}  = ( - 1;0;1)\) và \(\overrightarrow {AD}  = (0;1;0)\)

Suy ra (ACD) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = ( - 1;0; - 1)\) hay \(\overrightarrow {n'}  = (1;0;1)\)

Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là x – 1 + z = 0  hay x + z – 1 = 0

Mặt cầu (S) có tâm  \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\)

Ta có \(I \in (ACD)\), suy ra mặt phẳng (ACD) cắt (S) theo một đường tròn có tâm \(I\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\) và có bán kính r bằng bán kính mặt cầu (S), vậy:

\(r = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \)\( = \sqrt {\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{4}}  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Loigiaihay.com

 


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 3.66 trang 135 SBT hình học 12

    Giải bài 3.66 trang 135 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0 ; -1), D(4; 1; 0). Gọi (S) là mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.

  • Bài 3.65 trang 134 SBT hình học 12

    Giải bài 3.65 trang 134 sách bài tập hình học 12. Cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S):x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0 ...

  • Bài 3.64 trang 134 SBT hình học 12

    Giải bài 3.64 trang 134 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng...

  • Bài 3.63 trang 134 SBT hình học 12

    Giải bài 3.63 trang 134 sách bài tập hình học 12. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(1; 1; 1), ...

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.