Bài 3.65 trang 134 SBT hình học 12


Giải bài 3.65 trang 134 sách bài tập hình học 12. Cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S):x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0 ...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho mặt phẳng \((P):  2x – 3y  + 4z – 5 = 0\) và mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0

LG a

Xác định tọa độ tâm I và bán kính r của mặt cầu (S).

Phương pháp giải:

Mặt cầu \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0\) có tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2} - d} \).

Giải chi tiết:

(S) có tâm \(I\left( { - \dfrac{3}{2}; - 2;\dfrac{5}{2}} \right)\) và có bán kính \(r = \sqrt {\dfrac{9}{4} + 4 + \dfrac{{25}}{4} - 6}  = \dfrac{{\sqrt {26} }}{2}\)

LG b

Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P). Từ đó chứng minh rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta kí hiệu là (C). Xác định bán kính r’ và tâm H của đường tròn (C).

Phương pháp giải:

Công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\).

Vị trí tương đối của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\):

+) \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) < R\) thì \(\left( P \right)\) cắt \(\left( S \right)\).

+) \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) = R\) thì \(\left( P \right)\) tiếp xúc \(\left( S \right)\).

+) \(d\left( {I,\left( P \right)} \right) > R\) thì \(\left( P \right)\) không cắt \(\left( S \right)\).

Sử dụng công thức \({R^2} = {d^2} + {r^2}\) với \(R\) là bán kính mặt cầu, \(r\) là bán kính đường tròn, \(d\) là khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( P \right)\).

Giải chi tiết:

\(d(I,(P)) = \dfrac{{\left| {2.\left( { - \dfrac{3}{2}} \right) - 3.\left( { - 2} \right) + 4.\dfrac{5}{2} - 5} \right|}}{{\sqrt {4 + 9 + 16} }}\)\( = \dfrac{8}{{\sqrt {29} }} < \dfrac{{\sqrt {26} }}{2}\)

Vậy \(d(I, (P)) < r\)

Suy ra mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn tâm H bán kính r’.

H chính là hình chiếu vuông góc của I xuống mặt phẳng (P).

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua I và vuông góc với (P). Ta có vecto chỉ phương của \(\Delta \) là

\(\overrightarrow {{a_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_{(P)}}}  = (2; - 3;4)\)

Phương trình tham số của \(\Delta \) : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x =  - \dfrac{3}{2} + 2t}\\{y =  - 2 - 3t}\\{z = \dfrac{5}{2} + 4t}\end{array}} \right.\)

\(\Delta \) cắt (P) tại \(H\left( { - \dfrac{3}{2} + 2t; - 2 - 3t;\dfrac{5}{2} + 4t} \right)\). Ta có:

\(H \in (\alpha )\)\( \Leftrightarrow 2\left( { - \dfrac{3}{2} + 2t} \right) - 3( - 2 - 3t)\) \( + 4\left( {\dfrac{5}{2} + 4t} \right) - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow 29t + 8 = 0 \Leftrightarrow t =  - \dfrac{8}{{29}}\)

Suy ra tọa độ \(H\left( { - \dfrac{3}{2} - \dfrac{{16}}{{29}}; - 2 + \dfrac{{24}}{{29}};\dfrac{5}{2} - \dfrac{{32}}{{29}}} \right)\) hay \(H\left( {\dfrac{{119}}{{58}};\dfrac{{ - 34}}{{29}};\dfrac{{81}}{{58}}} \right)\)

Ta có  \(r{'^2} = {r^2} - {d^2}\left( {I,(P)} \right)\)\( = \dfrac{{26}}{4} - \dfrac{{64}}{{29}} = \dfrac{{249}}{{58}}\).

Suy ra \(r' = \sqrt {\dfrac{{249}}{{58}}} \).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài