Bài 3.66 trang 135 SBT hình học 12


Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A(6; -2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0 ; -1), D(4; 1; 0)\). Gọi (S) là mặt cầu  đi qua bốn điểm A, B, C, D. Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Gọi \(I\) là tâm của mặt cầu, sử dụng điều kiện \(IA = IB = IC = ID\) tìm tọa độ điểm \(I\).

- Mặt phẳng \(\left( P \right)\) tiếp xúc với \(\left( S \right)\) tại \(A\) nên nhận \(\overrightarrow {IA} \) làm VTPT.

Lời giải chi tiết

Tâm I(x, y, z) của (S) có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I{A^2} = I{B^2}}\\{I{A^2} = I{C^2}}\\{I{A^2} = I{D^2}}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{(x - 6)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z - 3)}^2} = {x^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 6)}^2}}\\{{{(x - 6)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z - 3)}^2} = {{(x - 2)}^2} + {y^2} + {{(z + 1)}^2}}\\{{{(x - 6)}^2} + {{(y + 2)}^2} + {{(z - 3)}^2} = {{(x - 4)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {z^2}}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{12x - 6y - 6z = 12}\\{8x - 4y + 8z = 44}\\{4x - 6y + 6z = 32}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - y - z = 2}\\{2x - y + 2z = 11}\\{2x - 3y + 3z = 16}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2}\\{y =  - 1}\\{z = 3}\end{array}} \right.\)

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(2; -1; 3).

Mặt phẳng \((\alpha )\) tiếp xúc với (S) tại A nên \((\alpha )\) có vecto pháp tuyến là  \(\overrightarrow {IA}  = (4; - 1;0)\)

Phương trình mặt phẳng \((\alpha )\) là 4(x – 6) – (y  +2) = 0 hay 4x – y – 26 = 0.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.