Bài 2.60 trang 132 SBT giải tích 12


Giải bài 2.60 trang 132 sách bài tập giải tích 12. Giải các bất phương trình logarit sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các bất phương trình logarit sau:

LG a

\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}(x - 1) \ge  - 2\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle x - 1 > 0 \Leftrightarrow x > 1\).

\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}(x - 1) \ge  - 2\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow x - 1 \le {\left( {\frac{1}{3}} \right)^{ - 2}}\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow x - 1 \le 9\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow x \le 10\)

Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle 1 < x \le 10\).

LG b

\(\displaystyle {\log _3}(x - 3) + {\log _3}(x - 5) < 1\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x - 3 > 0\\x - 5 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 3\\x > 5\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 5\).

Khi đó bpt\(\displaystyle  \Leftrightarrow {\log _3}{\rm{[}}(x - 3)(x - 5){\rm{]}} < {\log _3}3\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {x - 5} \right) < 3\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 15 < 3\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 12 < 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow 2 < x < 6\).

Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle 5 < x < 6\).

LG c

\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} < 0\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} > 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow x - 7 > 0\)(vì \(2x^2+3>0,\forall x\in R\))

\( \Leftrightarrow x > 7\).

Khi đó bpt\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} + 3}}{{x - 7}} > {\left( {\frac{1}{2}} \right)^0} = 1\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow 2{x^2} + 3 > x - 7\) (vì \(x-7 > 0,\forall x>7\))

\(\displaystyle  \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 10 > 0\)

(luôn đúng vì \(a=2>0\) và \(\Delta  = {1^2} - 4.2.10 =  - 79 < 0\)).

Vậy bất phương trình có nghiệm \(\displaystyle x > 7\).

LG d

\(\displaystyle {\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > 0\)

Phương pháp giải:

Biến đổi bất phương trình dạng cơ bản và sử dụng so sánh logarit:

+ Nếu \(\displaystyle 0 < a < 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) < g\left( x \right)\).

+ Nếu \(\displaystyle a > 1\) thì \(\displaystyle {\log _a}f\left( x \right) > {\log _a}g\left( x \right)\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow f\left( x \right) > g\left( x \right)\).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{x^2} > 0\\{\log _2}{x^2} > 0\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\{x^2} > {2^0} = 1\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x <  - 1\end{array} \right.\)

Khi đó bpt\(\displaystyle  \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{3}}}{\log _2}{x^2} > {\log _{\frac{1}{3}}}1\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {\log _2}{x^2} < 1 \Leftrightarrow {x^2} < 2\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow  - \sqrt 2  < x < \sqrt 2 \)

Kết hợp điều kiện ta được \(\displaystyle \left[ \begin{array}{l}1 < x < \sqrt 2 \\ - \sqrt 2  < x <  - 1\end{array} \right.\).

LG e

\(\displaystyle \frac{1}{{5 - \log x}} + \frac{2}{{1 + \log x}} < 1\)

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = \log x\), biến đổi bất phương trình về ẩn \(\displaystyle t\).

- Giải bất phương trình và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\log x \ne 5\\\log x \ne  - 1\end{array} \right.\) 

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 0\\
x \ne {10^5}\\
x \ne {10^{ - 1}}
\end{array} \right.\)

Đặt \(\displaystyle t = \log x\) với điều kiện \(\displaystyle t \ne 5,t \ne  - 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}
 \frac{1}{{5 - t}} + \frac{2}{{1 + t}} - 1 < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + t + 2\left( {5 - t} \right) - \left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 + t + 10 - 2t - 5 - 4t + {t^2}}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{{t^2} - 5t + 6}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0\\
\Leftrightarrow \frac{{\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)}}{{\left( {5 - t} \right)\left( {1 + t} \right)}} < 0
\end{array}\)

Xét dấu VT ta được: \(\displaystyle  \left[ \begin{array}{l}t <  - 1\\2 < t < 3\\t > 5\end{array} \right.\)

TH1: \(\displaystyle t <  - 1\) suy ra \(\displaystyle \log x <  - 1 \Leftrightarrow x < \frac{1}{{10}}\).

TH2: \(\displaystyle 2 < t < 3\) suy ra \(\displaystyle 2 < \log x < 3 \Leftrightarrow 100 < x < 1000\).

TH3: \(\displaystyle t > 5\) suy ra \(\displaystyle \log x > 5 \Leftrightarrow x > {10^5}\).

Kết hợp với điều kiện ta được \(\displaystyle 0 < x < \frac{1}{{10}}\) hoặc \(\displaystyle 100 < x < 1000\) hoặc \(\displaystyle x > 100000\).

LG g

\(\displaystyle 4{\log _4}x - 33{\log _x}4 \le 1\)

Phương pháp giải:

- Đặt ẩn phụ \(\displaystyle t = {\log _4}x\), biến đổi bất phương trình về ẩn \(\displaystyle t\).

- Giải bất phương trình và suy ra nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Điều kiện \(\displaystyle x > 0,x \ne 1\).

Đặt \(\displaystyle t = {\log _4}x \Rightarrow x = {4^t}\), ta có:

\(\begin{array}{l}
4t - 33{\log _{{4^t}}}4 \le 1\\
\Leftrightarrow 4t - \frac{{33}}{t}{\log _4}4 \le 1\\
\Leftrightarrow 4t - \frac{{33}}{t} \le 1
\end{array}\)

\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{4{t^2} - t - 33}}{t} \le 0\)\(\displaystyle  \Leftrightarrow \frac{{(4t + 11)(t - 3)}}{t} \le 0\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \le  - \frac{{11}}{4}\\0 < t \le 3\end{array} \right.\)

\(\displaystyle  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _4}x \le  - \frac{{11}}{4}\\0 < {\log _4}x \le 3\end{array} \right.\) \(\displaystyle  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0 < x \le {4^{ - \frac{{11}}{4}}}\\1 < x \le 64\end{array} \right.\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài