Bài 2.23 trang 61 SBT hình học 12


Giải bài 2.23 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho. Mặt phẳng qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn (C).

Đề bài

Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho \(AH = {{4r} \over 3}\). Mặt phẳng \((\alpha )\) qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn (C).

a) Tính diện tích của hình tròn (C).

b) Gọi BCD là tam giác đều nội tiếp trong (C), hãy tính thể tích hình chóp A.BCD và hình chóp A’.BCD.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Công thức tính diện tích hình tròn \(S = \pi {R^2}\)

b) Thể tích hình chóp:\(V = \dfrac{1}{3}Sh\), ở đó \(S\) là diện tích đáy, \(h\) là chiều cao.

Lời giải chi tiết

a) Theo giả thiết ta có \(\displaystyle AH = {{4r} \over 3}\)

Ta suy ra \(\displaystyle OH = {r \over 3}\). Gọi \(\displaystyle r’ \) là bán kính của đường tròn (C).

Ta có: \(\displaystyle r{'^2} = {r^2} - O{H^2} \) \(\displaystyle = {r^2} - {{{r^2}} \over 9} = {{8{r^2}} \over 9}\)

Vậy diện tích của hình tròn (C) là: \(\displaystyle S = \pi r{'^2} = {{8\pi {r^2}} \over 9}\)

b) Vì BCD là tam giác đều nên ta có: \(\displaystyle BC = r'.\sqrt 3  = {{2\sqrt 6 } \over 3}r\)

Diện tích của tam giác đều BCD là \(\displaystyle S = {{B{C^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{24{r^2}} \over 9}.{{\sqrt 3 } \over 4} = {{2{r^2}\sqrt 3 } \over 3}\)

Thể tích hình chóp A.BCD là: \(\displaystyle V = {1 \over 3}{{2{r^2}\sqrt 3 } \over 3}.{{4r} \over 3}\) \(\displaystyle = {{8\sqrt 3 {r^3}} \over {27}}\)

Hai hình chóp A.BCD và A’.BCD có chung mặt đáy BCD nên:

\(\displaystyle {{{V_{A'.BCD}}} \over {{V_{A.BCD}}}} = {{HA'} \over {HA}} = {1 \over 2}\).

Do đó \(\displaystyle {V_{A'.BCD}} = {{4\sqrt 3 {r^3}} \over {27}}\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Mặt cầu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài