Bài 2.16 trang 60 SBT hình học 12


Giải bài 2.16 trang 60 sách bài tập hình học 12. Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

Đề bài

Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c . Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

a) \(\widehat {BAC} = {90^0}\)

b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\) và \(b = c\)

c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\) và \(b = c\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Dựng tâm hình cầu (giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và trung trực của đoạn thẳng SA)

- Tính bán kính dựa vào các kiến thức hình học đã biết.

Lời giải chi tiết

\(\widehat {BAC} = {90^0}\). Gọi M là trung điểm của BC, ta có MA = MB = MC. Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại M. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có   OS = OA = OB = OC

Và  \({r^2} = O{A^2} = O{M^2} + M{A^2} = {({a \over 2})^2} + {({b \over 2})^2} + {({c \over 2})^2}\)

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có \(r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

b) \(\widehat {BAC} = {60^0}\)  và b = c, khi đó ABC là tam giác đều cạnh b. Gọi I là trọng tâm của tam giác đều nên I đồng thời cũng là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC. Dựng d là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại I. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có  OS = OA = OB = OC và r2 = OA2 = OI2 + IA2

Do đó ta có hình cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có

\({r^2} = {({a \over 2})^2} + {({2 \over 3}b{{\sqrt 3 } \over 2})^2} = {{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}\) . Vậy  \(r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {{{b^2}} \over 3}} \)

c) \(\widehat {BAC} = {120^0}\)  và b = c, khi đó ABC là một tam giác cân có góc A ở đỉnh bằng 1200 và cạnh bên bằng b. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Kéo dài AM một đoạn MK = AM, ta có KA = KB = KC = AB = AC = b.

Dựng đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại K. Mặt phẳng trung trực của đoạn SA cắt d tại O.

Ta có: OS = OA = OB = OC và \({r^2} = O{A^2} = O{K^2} + K{A^2} = {({a \over 2})^2} + {b^2}\)

Do đó ta có mặt cầu tâm O ngoại tiếp tứ diện và có bán kính \(r = \sqrt {{{{a^2}} \over 4} + {b^2}} \)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Mặt cầu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài