Bài 2.13 trang 60 SBT hình học 12


Giải bài 2.13 trang 60 sách bài tập hình học 12. Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.

Đề bài

Trong mặt phẳng \((\alpha )\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với \((\alpha )\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \((\beta )\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng \((\beta )\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.

a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.

b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng mình các điểm B, D, B', C', D' cùng nhìn AC một góc \(90^0\).

b) Công thức tính diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2}\).

Công thức tính thể tích khối cầu: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\displaystyle \left\{ {\matrix{{BC \bot AB} \cr {BC \bot SA} \cr} } \right.\Rightarrow BC \bot (SAB) \) \(\displaystyle \Rightarrow BC \bot AB'\)

Ta lại có \(\displaystyle AB' \bot SC\) nên suy ra \(\displaystyle AB' \bot (SBC)\). Do đó \(\displaystyle AB' \bot B'C\)

Chứng minh tương tự ta có \(\displaystyle AD' \bot D'C\).

Vậy \(\displaystyle \widehat {ABC} = \widehat {AB'C} = \widehat {AC'C} \) \(\displaystyle = \widehat {AD'C} = \widehat {ADC} = {90^0}\)

Từ đó suy ra 7 điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu đường kính là AC.

b) Gọi r là bán kính mặt cầu, ta có \(\displaystyle r = {{AC} \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

Vậy \(\displaystyle S = 4\pi {r^2} = 4\pi {({{a\sqrt 2 } \over 2})^2} = 2\pi {a^2}\) và \(\displaystyle V = {4 \over 3}\pi {r^3}\) \(\displaystyle = {4 \over 3}\pi {({{a\sqrt 2 } \over 2})^3} \) \(\displaystyle = {1 \over 3}\pi {a^3}\sqrt 2 \)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 2: Mặt cầu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài