Bài 2.13 trang 60 SBT hình học 12


Đề bài

Trong mặt phẳng \((\alpha )\) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với \((\alpha )\) ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng \((\beta )\) đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng \((\beta )\) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.

a) Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ luôn luôn thuộc một mặt cầu cố định.

b) Tính diện tích của mặt cầu đó và tính thể tích khối cầu được tạo thành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Chứng mình các điểm B, D, B', C', D' cùng nhìn AC một góc \(90^0\).

b) Công thức tính diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {R^2}\).

Công thức tính thể tích khối cầu: \(V = \dfrac{4}{3}\pi {R^3}\).

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\displaystyle \left\{ {\matrix{{BC \bot AB} \cr {BC \bot SA} \cr} } \right.\Rightarrow BC \bot (SAB) \) \(\displaystyle \Rightarrow BC \bot AB'\)

Ta lại có \(\displaystyle AB' \bot SC\) nên suy ra \(\displaystyle AB' \bot (SBC)\). Do đó \(\displaystyle AB' \bot B'C\)

Chứng minh tương tự ta có \(\displaystyle AD' \bot D'C\).

Vậy \(\displaystyle \widehat {ABC} = \widehat {AB'C} = \widehat {AC'C} \) \(\displaystyle = \widehat {AD'C} = \widehat {ADC} = {90^0}\)

Từ đó suy ra 7 điểm A, B, C, D, B’, C’, D’ cùng nằm trên mặt cầu đường kính là AC.

b) Gọi r là bán kính mặt cầu, ta có \(\displaystyle r = {{AC} \over 2} = {{a\sqrt 2 } \over 2}\)

Vậy \(\displaystyle S = 4\pi {r^2} = 4\pi {({{a\sqrt 2 } \over 2})^2} = 2\pi {a^2}\) và \(\displaystyle V = {4 \over 3}\pi {r^3}\) \(\displaystyle = {4 \over 3}\pi {({{a\sqrt 2 } \over 2})^3} \) \(\displaystyle = {1 \over 3}\pi {a^3}\sqrt 2 \)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 2.14 trang 60 SBT hình học 12

    Giải bài 2.14 trang 60 sách bài tập hình học 12. Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.

  • Bài 2.15 trang 60 SBT hình học 12

    Giải bài 2.15 trang 60 SBT hình học 12. Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’, M, M’, M1. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’

  • Bài 2.16 trang 60 SBT hình học 12

    Giải bài 2.16 trang 60 sách bài tập hình học 12. Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

  • Bài 2.17 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.17 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi a là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h (0 < h < r) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C).

  • Bài 2.18 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.18 trang 61 SBT hình học 12. Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều , có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng. Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB , SC tại trung điểm của mỗi cạnh.

  • Bài 2.19 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.19 trang 61 sách bài tập hình học 12. Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

  • Bài 2.20 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.20 trang 61 sách bài tập hình học 12. Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.

  • Bài 2.21 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.21 trang 61 sách bài tập hình học 12. Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE

  • Bài 2.22 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.22 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và bằng 30^0.

  • Bài 2.23 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.23 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho. Mặt phẳng qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn (C).

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.