Bài 2.17 trang 61 SBT hình học 12


Đề bài

Cho mặt cầu tâm O bán kính r. Gọi \((\alpha )\) là mặt phẳng cách tâm O một khoảng h (0 < h < r) và cắt mặt cầu theo đường tròn (C). Đường thẳng d đi qua một điểm A cố định trên (C) và vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\)  cắt mặt cầu tại một điểm B. Gọi CD là đường kính di động của (C)

a) Chứng minh các tổng AD2 + BC2 và AC2 + BD2 có giá trị không đổi.

b) Với vị trí nào của CD thì diện tích tam giác BCD lớn nhất?

c) Tìm tập hợp các điểm H, hình chiếu của B trên CD khi CD chuyển động trên đường tròn (C).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chứng minh \(A{D^2} + B{C^2} = A{C^2} + B{D^2} = 4{R^2}\)

- Viết công thức tính diện tích tam giác BCD và suy ra GTLN.

- Nhận xét: H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông, từ đó suy ra quỹ tích.

Lời giải chi tiết

a) Tam giác ADC vuông tại A nên AD2 = DC2 – AC2  (1)

Tam giác ABC vuông tại A nên  BC2 = AC2 + AB2  (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra AD2 + BC2 = DC2 + AB2  (3)

Ta lại có:

AC2 = DC2 – AD2   và BD2 = AD2 + AB2   (4)

DC2 = 4(r2 – h2)   , AB2 = 4h2   (5)

Từ (4) và (5) ta có:

AC2 + BD2 =DC2 + AB2 = 4(r2 – h2) + 4h2 = 4r2  (6)

Từ (3) và (6) ta có: AD2 + BC2 = AC2 + BD2(không đổi)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên CD.

Diện tích tam giác BCD bằng \({S_{\Delta BCD}} = {1 \over 2}BH.DC\)

Ta thấy, \(BH \le BI\) không đổi nên \({S_{BCD}}\) đạt GTLN khi BH lớn nhất và bằng BI.

Tức là \(BI\bot DC\) \( \Rightarrow DC \bot \left( {ABI} \right) \Rightarrow DC \bot AI\)

Vậy diện tích tam giác BCD lớn nhất khi AI \(\bot\) CD.

c) Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}
AB \bot CD\\
BH \bot CD
\end{array} \right.\) \(\Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right) \Rightarrow CD \bot AH\)

\( \Rightarrow \widehat {AHI} = {90^0}\)

Do đó khi CD di động, điểm H luôn luôn nhìn đọan thẳng AI dưới một góc vuông.

Vậy tập hợp các điểm H là đường tròn đường kính AI nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 2.18 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.18 trang 61 SBT hình học 12. Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều , có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng. Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB , SC tại trung điểm của mỗi cạnh.

  • Bài 2.19 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.19 trang 61 sách bài tập hình học 12. Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

  • Bài 2.20 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.20 trang 61 sách bài tập hình học 12. Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.

  • Bài 2.21 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.21 trang 61 sách bài tập hình học 12. Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE

  • Bài 2.22 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.22 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và bằng 30^0.

  • Bài 2.23 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.23 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho. Mặt phẳng qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn (C).

  • Bài 2.16 trang 60 SBT hình học 12

    Giải bài 2.16 trang 60 sách bài tập hình học 12. Cho tứ diện SABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có SA = a, AB = b , AC = c. Xác định tâm và bán kính hình cầu ngoại tiếp tứ diện trong các trường hợp sau:

  • Bài 2.15 trang 60 SBT hình học 12

    Giải bài 2.15 trang 60 SBT hình học 12. Xác định tâm O và bán kính r của mặt cầu đi qua 5 điểm A, A’, M, M’, M1. Tính diện tích của mặt cầu tâm O nói trên theo a, x = A’M’

  • Bài 2.14 trang 60 SBT hình học 12

    Giải bài 2.14 trang 60 sách bài tập hình học 12. Hình chóp tam giác S.ABC có SA = SB = SC = a và có chiều cao bằng h. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích của mặt cầu đó.

  • Bài 2.13 trang 60 SBT hình học 12

    Giải bài 2.13 trang 60 sách bài tập hình học 12. Trong mặt phẳng cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên đường thẳng Ax vuông góc với ta lấy một điểm S tùy ý, dựng mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng SC. Mặt phẳng cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’.

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.