Bài 1.48 trang 24 SBT giải tích 12


Giải bài 1.48 trang 24 sách bài tập giải tích 12. Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:...

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Tìm các tiệm cận đứng và ngang của đồ thị mỗi hàm số sau:

LG a

\(y = \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}}\)

Phương pháp giải:

- Tiệm cận đứng: Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 4 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \end{array} \right.\)

- Tiệm cận ngang: Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) nếu nó thỏa mãn một trong 2 điều kiện sau: \(\left[ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^{\pm}} \left( {{x^2} - x - 2} \right)\) \( = {1^2} - 1 - 2 =  - 2 < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1^{\pm} } {\left( {x - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {x - 1} \right)^2} > 0,\forall x \ne 1\end{array} \right.\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} =  - \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} =  - \infty \) nên \(x = 1\) là tiệm cận đứng.

Từ \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{1}{x} - \dfrac{2}{{{x^2}}}}}{{{{\left( {1 - \dfrac{1}{x}} \right)}^2}}} = 1\) suy ra \(y = 1\) là tiệm cận ngang.

LG b

\(y = \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}}\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} + 3x} \right)\) \( = {2^2} + 3.2 = 10 > 0\)

Và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\{x^2} - 4 > 0,\forall x > 2\end{array} \right.\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} =  + \infty \)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} =  - \infty \)  nên \(x = 2\) là một tiệm cận đứng.

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \left( {{x^2} + 3x} \right)\) \( = {\left( { - 2} \right)^2} + 3.\left( { - 2} \right) =  - 2 < 0\)

và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\{x^2} - 2 > 0,\forall x <  - 2\end{array} \right.\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} =  - \infty \)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} =  + \infty \) nên \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng thứ hai.

Ta lại có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{{x^2} + 3x}}{{{x^2} - 4}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{1 + \dfrac{3}{x}}}{{1 - \dfrac{4}{{{x^2}}}}} = 1\)  nên \(y = 1\) là tiệm cận ngang.

LG c

\(y = \dfrac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\);

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = \frac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\) \( = \frac{{2 - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{\frac{{2 - x}}{{x - 3}}}}{{x - 1}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2 - x}}{{x - 3}} =  - \frac{1}{2} < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\\x - 1 > 0,\forall x > 1\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\frac{{2 - x}}{{x - 3}}}}{{x - 1}} =  - \infty \)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{\frac{{2 - x}}{{x - 3}}}}{{x - 1}} =  + \infty \)

Lại có: \(y = \frac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}}\) \( = \frac{{2 - x}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{\frac{{2 - x}}{{x - 1}}}}{{x - 3}}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{2 - x}}{{x - 1}} =  - \frac{1}{2} < 0\) và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3} \right) = 0\\x - 3 > 0,\forall x > 3\end{array} \right.\) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{\frac{{2 - x}}{{x - 1}}}}{{x - 3}} =  - \infty \)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{\frac{{2 - x}}{{x - 1}}}}{{x - 3}} =  + \infty \)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  \pm \infty } \dfrac{{2 - x}}{{{x^2} - 4x + 3}} = 0\)  nên \(y = 0\) là tiệm cận ngang.

LG d

\(y = \dfrac{{3x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{2 + \sqrt {3{x^2} + 2} }}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(\mathbb{R}\).

Ta có:

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{3 + \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{\dfrac{2}{x} + \sqrt {3 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} }}\)\( = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

+) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{3 - \sqrt {1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}} }}{{\dfrac{2}{x} - \sqrt {3 + \dfrac{2}{{{x^2}}}} }}\)\( =  - \dfrac{2}{{\sqrt 3 }} =  - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\)

Suy ra đồ thị hàm số có các tiệm cận ngang: \(y = \dfrac{{4\sqrt 3 }}{3}\) và \(y =  - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\).

Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng.

LG e

\(y = \dfrac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}}\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ:  \(D = ( - \infty ; - \sqrt 2 ) \cup (\sqrt 2 ;4) \cup (4; + \infty )\)

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x - 4}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5x - 1 - \left| x \right|\sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x - 4}} \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5x - 1 - x\sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x - 4}} \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x\left( {5 - \frac{1}{x} - \sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} } \right)}}{{x\left( {1 - \frac{4}{x}} \right)}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{5 - \dfrac{1}{x} - \sqrt {1 - \dfrac{2}{{{x^2}}}} }}{{1 - \dfrac{4}{x}}} = 4\)

và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2}\left( {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} \right)} }}{{x - 4}}  \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{5x - 1 - \left| x \right|\sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x - 4}}  \) \(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{5x - 1 + x\sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} }}{{x - 4}}  \) \( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x\left( {5 - \frac{1}{x} + \sqrt {1 - \frac{2}{{{x^2}}}} } \right)}}{{x\left( {1 - \frac{4}{x}} \right)}}\)

\(= \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \dfrac{{5 - \dfrac{1}{x} + \sqrt {1 - \dfrac{2}{{{x^2}}}} }}{{1 - \dfrac{4}{x}}} = 6\)

Nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang \(y = 4\) và \(y = 6\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left( {5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} } \right)\) \( = 5.4 - 1 - \sqrt {{4^2} - 2} \) \( = 19 - \sqrt {14}  > 0\)

Và \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \left( {x - 4} \right) = 0\\x - 4 > 0,\forall x > 4\end{array} \right.\) nên

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \dfrac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}} =  + \infty \)

Tương tự \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ - }} \dfrac{{5x - 1 - \sqrt {{x^2} - 2} }}{{x - 4}} =  - \infty \) nên đường thẳng \(x = 4\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.7 trên 6 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 4: Đường tiệm cận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài