Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 2 – Chương III - Giải tích 12

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Đáp án và lời giải chi tiết Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 2 – Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = \sqrt {2 - x} ,\,y = x\) xung quanh trục Ox được tính theo công thức nào sau đây :

A. \(V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx + \pi \int\limits_0^2 {{x^2}\,dx} } \).  

B. \(V = \pi \int\limits_0^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx} \).

C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {x\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\sqrt {2 - x} \,dx} } \).     

D. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx} } \).

Câu 2. Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}\) là

A. \(\tan x + C\).         

B. \(\dfrac{{ - 1}}{{\cos x}} + C\).

C. \(\cot x + C\).           

D. \(\dfrac{1}{{\cos x}} + C\).

Câu 3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số \(y = {x^2},\,\,y = 2x\) là:

A. \(\dfrac{4}{3}\)                          B. \(\dfrac{3}{2}\)

C. \(\dfrac{5}{3}\)                           D. \(\dfrac{{23}}{{15}}\).

Câu 4. Nếu f(1) = 12, f’(x) liên tục và \(\int\limits_1^4 {f'(x)\,dx = 17} \) thì giá trị của f(4) bằng bao nhiêu ?

A. 29                         B. 5

C. 19                         D. 40 .

Câu 5. Cho f(x), g(x)  là các hàm liên tục trên [a ; b]. Lựa chọn phương án đúng.

A. \(\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| \ge \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \). 

B. \(\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| \le \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).

C. \(\left| {\int\limits_a^b {f(x)\,dx} } \right| = \int\limits_a^b {|f(x)|\,dx} \).   

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 6. Giả sử f(x) là hàm liên tục và 0 < f(x) < 1, \(\forall x \in [0;1]\). Hình phẳng S giới hạn bởi các đường  y = f(x), y = 0, x = 0, x = 1. Hình này quay quanh trục tạo nên các vật thể có thể tích la Vx. Lựa chọn phương án đúng :

A. \(0 < {V_x} < \pi \int\limits_0^1 {f(x)\,dx} \).  

B. \({V_x} < \pi \int\limits_0^1 {{f^4}(x)\,dx} \).

C. \({V_x} > \pi \int\limits_0^1 {f(x)\,dx} \)   

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 7. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} \) ta được:

A. \( - \cot x - 2\tan x + C\).   

B. \(\cot x - 2\tan x + C\).

C. \(\cot x + 2\tan x + C\).                

D. \( - \cot x + 2\tan x + C\).

Câu 8. Nếu \(F(x) = \left( {a{x^2} + bx + c} \right){e^{ - x}}\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}}\) thì (a , b ,c) bằng bao nhiêu ?

A. (1 ; 3 ; 2).                   

B. (2 ;  - 3 ; 1).

C. (1 ; - 1 ; 1).                      

D. Một kết quả khác.

Câu 9. Cho hàm số \(y = f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 4x\). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số trên và trục Ox được tính bằng công thức:

A. \(\left| {\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)\,dx} } \right|\).         

B. \(\int\limits_{ - 1}^4 {f(x)\,dx} \).

C. \(\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)\,dx + \int\limits_0^4 {f(x)\,dx} } \).

D. \(\int\limits_{ - 1}^0 {f(x)\,dx - \int\limits_0^4 {f(x)\,dx} } \).

Câu 10. Cho \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} \,dx\,,\,\,u = {x^2} - 1} \). Khẳng định nào dưới đây sai ?

A. \(I = \int\limits_0^3 {\sqrt u \,du} \).     

B. \(I = \dfrac{2}{3}\sqrt {27} \).

C. \(\int\limits_1^2 {\sqrt u \,du} \).                 

D. \(I = \dfrac{2}{3}{u^{\dfrac{3}{2}}}\left| \begin{array}{l}3\\0\end{array} \right.\).

Câu 11. Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A. \(\int\limits_a^b {[f(x) + g(x)]\,dx}  = \int\limits_a^b {f(x)\,dx + \int\limits_a^b {g(x)\,dx} } \).

B. f(x) liên tục trên [a ; c] và a < b < c thì \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx + \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } } \).

C. Nếu \(f(x) \ge 0\) trên đoạn [a ; b] thì \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx \ge 0} \).

D. \(\int {\dfrac{{u'(x)dx}}{{u(x)}} = \ln \left| {u(x)} \right|}  + C\).

Câu 12. Tìm nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x}\left( {1 - 3{e^{ - 2x}}} \right)\).

A. \(F(x) = {e^x} - 3{e^{ - 3x}} + C\).

B. \(F(x) = {e^x} + 3{e^{ - x}} + C\).

C. \(F(x) = {e^x} - 3{e^{ - x}} + C\).    

D. \(F(x) = {e^x} + C\).

Câu 13. Cho \(\int\limits_1^4 {f(x)\,dx = 9} \). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f(3x + 1)\,dx} \) .      

A. I= 27                      B. I= 3

C. I= 9                        D. I= 1.

Câu 14. Cho f(x), g(x) là hai hàm số liên tục trên R và \(k \ne 0\). Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau đây .

A. \(\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]} \,dx = \int {f(x)\,dx.\int {g(x)\,dx} } \)

B. \(\int {k.f(x)\,dx = k\int {f(x)\,dx} } \)

C. \(\int {f'(x)\,dx}  = f(x) + C\)

D. \(\int {\left[ {f(x) \pm g(x)} \right]\,dx = \int {f(x)\,dx \pm \int {g(x)\,dx} } } \)

Câu 15. Cho số thực a thỏa mãn \(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}} \,dx = {e^2} - 1\). Khi đó a có giá trị bằng:

A. 0                              B. -1

C. 1                              D. 2.

Câu 16. Tích phân \(I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}} \) có giá trị bằng:

A. \(2\ln \dfrac{1}{3}\).                        B . \(2\ln 3\).

C. \(\dfrac{1}{2}\ln 3\).                         D. \(\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{3}\).

Câu 17. Tích phân \(I = \int\limits_1^e {2x\left( {1 - \ln x} \right)\,dx} \) bằng :

A. \(\dfrac{{{e^2} - 1}}{2}\).                      B. \(\dfrac{{{e^2} + 1}}{2}\). 

C. \(\dfrac{{{e^2} - 3}}{4}\).                     D. \(\dfrac{{{e^2} - 3}}{2}\).

Câu 18. Tìm \(I = \int {\left( {2{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{x}}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx} \) trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{2}} \right)\).

A. \(I = \dfrac{2}{3}{x^3} + \dfrac{1}{3}{x^{ - \dfrac{2}{3}}} - \tan x + C\).

B. \(I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} - \tan x + C\).

C. \(I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{2}{3}\sqrt[3]{{{x^2}}} - \tan x + C\). 

D. \(I = \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} + \tan x + C\).

Câu 19. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = {x^2} - x + 3,\,\,y = 2x + 1\) là:

A. \(\dfrac{3}{2}\)                       B. \(\dfrac{{ - 3}}{2}\)

C. \(\dfrac{1}{6}\)                       D. \( - \dfrac{1}{6}\).

Câu 20. Hàm số y = sinx là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây ?

A. y = sin + 1.            B. y = cosx.

C. y = cotx.                 D. y = - cosx.

Câu 21. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}}}{x}\,dx} \) ta được:

A. \(\dfrac{1}{3}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C\). 

B. \(\dfrac{1}{{15}}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C\).

C. \(\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^5}}}{5} + C\).   

D. \(\dfrac{1}{5}{\left( {3\ln x + 2} \right)^5} + C\).

Câu 22. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(y = \left( {e + 1} \right)x\,,\,\,y = \left( {{e^x} + 1} \right)x\) là:

A. \(\dfrac{{2 - e}}{e}\).                    B. e   

C. \(\dfrac{{e - 2}}{e}\)                    D. 2e.

Câu 23. Xét f(x) là một hàm số liên tục trê đoạn [a ; b], ( với a  < b) và F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a ; b]. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

A. \(\int\limits_a^b {f(3x + 5)\,dx = F(3x + 5)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.} \).

B. \(\int\limits_a^b {f(x + 1)\,dx = F(x)\left| \begin{array}{l}b\\a\end{array} \right.} \).

C. \(\int\limits_a^b {f(2x)\,dx = 2\left( {F(b) - F(a)} \right)} \). 

D. \(\int\limits_a^b f (x)\,dx = F(b) - F(a)\).

Câu 24. Cho \(f(x) = \dfrac{{4m}}{\pi } + {\sin ^2}x\). Tìmmđể nguyên hàm F(x) của hàm số f(x)  thỏa mãn F(0) = 1 và \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{8}\).

A. \( - \dfrac{3}{4}\).                        B. \(\dfrac{3}{4}\)  

C.  \( - \dfrac{4}{3}\)                        D. \(\dfrac{4}{3}\).

Câu 25. Xét hàm số F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a ; b]. Khẳng định nào sau đây luôn đúng ?

A. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) + F(b)} \).

. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(a) - F(b)} \).

C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a)} \).   

D. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = f(b) - f(a)} \).

Lời giải chi tiết

 

1

2

3

4

5

D

D

A

A

B

6

7

8

9

10

A

A

B

D

C

11

12

13

14

15

B

B

B

A

C

16

17

18

19

20

C

D

B

C

B

21

22

23

24

25

B

C

D

A

C

 Lời giải chi tiết

Câu 1

Điều kiện: \(x \le 2\)

Xét hương trình hoành độ giao điểm ta có:

\(\sqrt {2 - x}  = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\2 - x = {x^2}\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} + x - 2 = 0\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\\left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow x = 1\)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính được xác được bởi công thức: \(V = \pi \int\limits_0^1 {{x^2}\,dx + \pi \int\limits_1^2 {\left( {2 - x} \right)\,dx} } \)

Chọn đáp án D.

Câu 2.

Ta có: \(\int {\dfrac{{\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}} \,dx =  - \int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \,d\left( {\cos x} \right)\)\(\, = \dfrac{1}{{\cos x}} + C.\)

Chọn đáp án D.

Câu 3.

Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} = 2x \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\)

Khi đó, diện tích hình phẳng được xác định bởi công thức

\(S = \int\limits_0^2 {\left| {\left( {{x^2} - 2x} \right)} \right|\,dx}  \)\(\,= \left| {\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)} \right|\left| \begin{array}{l}^2\\_0\end{array} \right. \)\(\,= \left| {\left( {\dfrac{{{2^3}}}{3} - {2^2}} \right)} \right| - 0 = \dfrac{4}{3}\)

Chọn đáp án A.

Câu 4.

Ta có: \(\int\limits_1^4 {f'\left( x \right)\,dx = 17}  \)

\(\Rightarrow f\left( x \right)\left| {_1^4} \right. = 17 \Leftrightarrow f\left( 4 \right) - f\left( 1 \right) = 17\)

\( \Rightarrow f\left( 4 \right) = 17 + f\left( 1 \right) = 17 + 12 = 29.\)

Chọn đáp án A.

Câu 5.

Khi Cho \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các hàm liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) ta luôn có: \(\left| {\int\limits_a^b {f\left( {x\,} \right)dx} } \right| \le \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,dx} \)

Chọn đáp án B.

Câu 6.

Thể tích của hình phẳng tạo ra là

Câu 7.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx} \\ = \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,dx - 2\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} } \\ =  - \cot x - 2\tan x + C\end{array}\)

Chọn đáp án A.

Câu 8.

Ta có: \(\int {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}}} \,dx \)\(\,=  - \int {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right)d} \left( {{e^{ - x}}} \right)\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u =  - 2{x^2} + 7x - 4\\dv = d\left( {{e^{ - x}}} \right)\end{array} \right. \)\(\,\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \left( { - 4x + 7} \right)\,dx\\v = {e^{ - x}}\end{array} \right.\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\int {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}}} \,dx\\ =  - \int {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right)d} \left( {{e^{ - x}}} \right)\\ =  - \left[ {\left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} - \int {{e^{ - x}}\left( { - 4x + 7} \right)dx} } \right]\end{array}\)

\( =  - \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} + \int {{e^{ - x}}\left( { - 4x + 7} \right)dx} \)

\( =  - \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} - \int {\left( { - 4x + 7} \right)d\left( {{e^{ - x}}} \right)} \)\( =  - \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} - \left[ {\left( { - 4x + 7} \right){e^{ - x}} + 4\int {{e^{ - x}}dx} } \right]\)

\( =  - \left( { - 2{x^2} + 7x - 4} \right){e^{ - x}} + \left( {4x - 7} \right){e^{ - x}} - 4\left( { - {e^{ - x}}} \right) + C\)

\( = \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right){e^{ - x}} + C\)

Chọn đáp án B.

Câu 9

Phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} - 3{x^2} - 4x = 0\)

\(\Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3x - 4} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 3x - 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 4\\x =  - 1\end{array} \right.\)

Khi đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox được xác định bằng công thức:

\(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,dx\)

Mà ta có: \(f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} - 4x = x\left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right)\)

+ Với \( - 1 < x < 0 \Rightarrow f\left( x \right) > 0\)

+ Với \(0 < x < 4 \Rightarrow f\left( x \right) < 0\)

Khi đó ta có: \(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,dx\)\(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,dx = \int\limits_{ - 1}^0 {f\left( x \right)} \;dx - \int\limits_0^4 {f\left( x \right)} \;dx\)

Chọn đáp án D.

Câu 10.

Đặt \(u = {x^2} - 1 \Rightarrow du = 2x\,dx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to u = 0\\x = 2 \to u = 3\end{array} \right.\)

Khi đó \(I = \int\limits_1^2 {2x\sqrt {{x^2} - 1} \,dx\, = \int\limits_0^3 {\sqrt u } } \,du\)

\( \to \) Đáp án C sai

Chọn đáp án C.

Câu 11.

+ Áp dụng tính chất của tích phân, ta có \(\int\limits_a^b {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)\,} \right]dx}  = \int\limits_a^b {f\left( {x\,} \right)dx + \int\limits_a^b {g\left( x \right)\,dx} } \)

\( \to \) Khẳng định A đúng.

+ Tính chất của tích phân: Nếu \(f\left( x \right) \ge 0\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)\,dx \ge 0} \)

\( \to \) Khẳng định C đúng.

+ Ta có: \(\int {\dfrac{{u'\left( x \right)dx}}{{u\left( x \right)}} = \int {\dfrac{{d\left( {u\left( x \right)} \right)}}{{u\left( x \right)}}} }  = \ln \left| {u\left( x \right)} \right| + C\)

\( \to \) Khẳng định D đúng.

\( \to \) Khẳng định B sai.

Chọn đáp án B.

Câu 12.

Ta có: \(\int {{e^x}\left( {1 - 3{e^{ - 2x}}} \right)\,dx}  = \int {\left( {1 - \dfrac{3}{{{{\left( {{e^x}} \right)}^2}}}} \right)} \;d\left( {{e^x}} \right)\)\(\, = {e^x} + \dfrac{3}{{{e^x}}} + C = {e^x} + 3{e^{ - x}} + C\)

Chọn đáp án B.

Câu 13.

Đặt \(u = 3x + 1 \)

\(\Rightarrow du = d\left( {3x + 1} \right) = 3\,dx \)

\(\Leftrightarrow dx = \dfrac{{du}}{3}\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to u = 1\\x = 1 \to u = 4\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = \dfrac{1}{3}\int\limits_1^4 {f\left( u \right)\,} du = \dfrac{1}{3}\int\limits_1^4 {f\left( x \right)\,dx}  \)\(\,= \dfrac{1}{3}.9 = 3.\)

Chọn đáp án B.

Câu 14.

Áp dụng tính chất của nguyên hàm ta có:

+ \(\int {k.f\left( x \right)\,dx = k\int {f\left( x \right)\,dx} } \)

+ \(\int {f'\left( x \right)\,dx}  = f\left( x \right) + C\)

+ \(\int {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]\,dx = \int {f\left( x \right)\,dx \pm \int {g\left( x \right)\,dx} } } \)

\( \to \) Khẳng định A sai

Chọn đáp án A.

Câu 15.

Ta có: \(\int\limits_{ - 1}^a {{e^{x + 1}}} \,dx \)

\(= e\int\limits_{ - 1}^a {{e^x}\,d} \left( x \right)\)

\(= e\left( {{e^x}} \right)\left| {_{ - 1}^a} \right. \)

\(= e\left( {{e^a} - {e^{ - 1}}} \right) + C = {e^{a + 1}} - e + C\)

Khi đó \(a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1\)

Chọn đáp án C.

Câu 16.

Ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sin x}}}  = \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sin x}}{{{{\sin }^2}x}}} \,dx\\ =  - \int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{d\left( {\cos x} \right)}}{{1 - {{\cos }^2}x}}} \\ =  - \dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\dfrac{1}{{1 - \cos x}} + \dfrac{1}{{1 + \cos x}}} \right)} \;d\left( {\cos x} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{1 - \cos x}}d\left( {1 - \cos x} \right)}  - \dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{1}{{1 + \cos x}}d\left( {1 + \cos x} \right)} \\ = \dfrac{1}{2}\ln \left| {1 - \cos x} \right|\left| {_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. - \dfrac{1}{2}\ln \left| {1 + \cos x} \right|\left| {_{\dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right.\\ = \left( {\dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{2}} \right) - \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{2}\ln \dfrac{1}{3}\end{array}\)

Chọn đáp án D.

Câu 17.

Ta có: \(I = \int\limits_1^e {2x\left( {1 - \ln x} \right)\,dx} \)\(\, = \int\limits_1^e {2x\,dx}  - 2\int\limits_1^e {x\ln \,dx}\)\(\,  = {x^2}\left| {_1^e} \right. - 2\int\limits_1^e {x\ln \,dx} \)

Đặt \({I_1} = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx} \)     

Ta có:

\({I_1} = \int\limits_1^e {x\ln x\,dx}  = \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_1^{}\end{array} \right. - \int\limits_1^e {\dfrac{x}{2}dx} \)

\(= \left( {\dfrac{{{x^2}}}{2}\ln x} \right)\left| \begin{array}{l}^e\\_1^{}\end{array} \right. - \left( {\dfrac{{{x^2}}}{4}} \right)\left| \begin{array}{l}_{}^e\\_1^{}\end{array} \right.\)

\( = \dfrac{e^2}{2}\ln e - \left( {\dfrac{e^2}{4} - \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{e^2}{2}+\dfrac {1}{4}\)

Khi đó ta có: \(I = {e^2} - 1 - 2.\left( {\dfrac{{{e^2}}}{4} + \dfrac{1}{4}} \right) = \dfrac{{{e^2} - 3}}{2}\)

Câu 18.

Ta có:\(I = \int {\left( {2{x^2} - \dfrac{1}{{\sqrt[3]{x}}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx} \)\(\, = \int {\left( {2{x^2} - {x^{ - \dfrac{1}{3}}} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)dx} \)\(\,= \dfrac{2}{3}{x^3} - \dfrac{3}{2}{x^{\dfrac{2}{3}}} - \tan x + C\)

Chọn đáp án B.

Câu 19.

Phương trình hoành độ giao điểm \({x^2} - x + 3 = 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 2\end{array} \right.\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thì được xác định bằng công thức

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_1^2 {\left| {\left( {{x^2} - x + 3} \right) - \left( {2x + 1} \right)} \right|\,dx} \\ = \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - 3x + 2} \right|} \,dx\\ = \left| {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{3}{2}{x^2} + 2x} \right|\left| \begin{array}{l}^2\\_1\end{array} \right.\\ = \left| {\dfrac{2}{3} - \dfrac{5}{6}} \right| = \dfrac{1}{6}.\end{array}\)

Chọn đáp án C.

Câu 20.

Ta có: \(\int {\left( { - \cos x} \right)} \,dx = \sin x + C.\)

Chọn đáp án A.

Câu 21.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {\dfrac{{{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}}}{x}\,dx} \\ = \int {\left( {{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}} \right)} \,d\left( {\ln x} \right)\\ = \dfrac{1}{3}\int {\left( {{{\left( {3\ln x + 2} \right)}^4}} \right)} \,d\left( {3\ln x + 2} \right)\\ = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{{\left( {3\ln 2 + 2} \right)}^5}}}{5} = \dfrac{{{{\left( {3\ln 2 + 2} \right)}^5}}}{{15}} + C.\end{array}\)

Chọn đáp án B.

Câu 22.

Phương trình hoành độ giao điểm là: \(\left( {e + 1} \right)x\, = \left( {{e^x} + 1} \right)x \)

\(\Leftrightarrow x\left( {{e^x} + 1 - e - 1} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow x\left( {{e^x} - e} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\end{array} \right.\).

Khi đó, diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đồ thị là:

\(\begin{array}{l}S = \int\limits_0^1 {\left| {\left( {{e^x} + 1} \right)x - \left( {e + 1} \right)x} \right|\,dx} \\\,\,\,\, = \int\limits_0^1 {\left| {{e^x}x - ex} \right|\,dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {ex - {e^x}x} \right)} \,dx\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{e{x^2}}}{2}} \right)\left| \begin{array}{l}^1\\_0\end{array} \right. - \int\limits_0^1 {{e^x}xdx} \end{array}\)

Đặt \(I = \int\limits_0^1 {{e^x}x\,dx} \)

Ta có: \(\begin{array}{l}I = \int\limits_0^1 {{e^x}x\,dx}  = \int\limits_0^1 {x\,d\left( {{e^x}} \right)} \\\,\,\, = \left( {x.{e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. - \int\limits_0^1 {{e^x}} dx\\\,\,\, = e - \left( {{e^x}} \right)\left| {_0^1} \right. = e - \left( {e - 1} \right) = 1\end{array}\)

Khi đó: \(S = \dfrac{e}{2} - 1 = \dfrac{{e - 2}}{2}.\)

Chọn đáp án C.

Câu 23.

Áp dụng khái niệm của tích phân: Xét \(f\left( x \right)\) là một hàm số liên tục trê đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), ( với \(a < b\)) và \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) ta có\(\int\limits_a^b f (x)\,dx = F(b) - F(a)\).

Chọn đáp án D.

Câu 24.

Ta có:

\(\int {\left( {\dfrac{{4m}}{\pi } + {{\sin }^2}x} \right)\,dx}  \)

\(= \int {\left( {\dfrac{{4m}}{\pi } + \dfrac{{1 - \cos 2x}}{2}} \right)} \,dx \)

\(= \int {\left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }} - \dfrac{{\cos 2x}}{2}} \right)\,dx} \)

\( = \left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }}} \right)x - \dfrac{1}{4}\int {\cos 2x\,d\left( {2x} \right)}\)

\(  = \left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }}} \right)x - \dfrac{{\sin 2x}}{4} + C\)

Theo giả thiết ta có:

+ \(F\left( 0 \right) = 1 \Rightarrow C = 1\)

+ \(F\left( {\dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{\pi }{8}\)

\(\Rightarrow \left( {\dfrac{{8m + \pi }}{{2\pi }}} \right).\dfrac{\pi }{4} - \dfrac{1}{4} + 1 = \dfrac{\pi }{8}\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{8m + \pi }}{8} = \dfrac{\pi }{8} - \dfrac{3}{4} = \dfrac{{\pi  - 6}}{8} \)

\(\Leftrightarrow 8m =  - 6 \Rightarrow m =  - \dfrac{3}{4}\).

Chọn đáp án A.

Câu 25.

Áp dụng định nghĩa của tích phân ta có: \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = F(b) - F(a)} \)

Chọn đáp án C

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 3 – Chương III -  Giải tích 12 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 3 – Chương III - Giải tích 12

Đáp án và lời giải chi tiết Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 3 – Chương III - Giải tích 12

Xem chi tiết
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 4 – Chương III -  Giải tích 12 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 4 – Chương III - Giải tích 12

Đáp án và lời giải chi tiết Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 4 – Chương III - Giải tích 12

Xem chi tiết
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 5 – Chương III -  Giải tích 12 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 5 – Chương III - Giải tích 12

Đáp án và lời giải chi tiết Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 5 – Chương III - Giải tích 12

Xem chi tiết
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 1 – Chương III -  Giải tích 12 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 1 – Chương III - Giải tích 12

Đáp án và lời giải chi tiết Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 1 – Chương III - Giải tích 12

Xem chi tiết
Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12 Bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12

Giải bài 2 trang 10 SGK Giải tích 12. Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số:

Xem chi tiết
Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12 Bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12

Giải bài 1 trang 9 SGK Giải tích 12. Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số:

Xem chi tiết
Bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12 Bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12

Giải bài 1 trang 18 SGK Giải tích 12. Áp dụng quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

Xem chi tiết
Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12 Bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12

Giải bài 2 trang 18 SGK Giải tích 12. Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của hàm số sau:

Xem chi tiết

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.