Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 1 – Chương III - Giải tích 12

Bình chọn:
3.5 trên 8 phiếu

Đáp án và lời giải chi tiết Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 1 – Chương III - Giải tích 12

Đề bài

Câu 1. Cho hình (H) giới hạn bởi đường cong \({y^2} + x = 0\), trục Oy và hai đường thẳng y = 0, y= 1. Thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay (H) quanh trục Oy được tính bởi:

A. \(V = {\pi ^2}\int\limits_0^1 {{x^4}\,dx} \). 

B. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{y^2}\,dy} \).

C. \(V = \pi \int\limits_0^1 {{y^4}\,dy} \).          

D. \(V = \pi \int\limits_0^1 { - {y^4}\,dy} \).

Câu 2. Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} \,dx} \). Phát biểu nào sau đây sai?

A. \(I = \sqrt 2 \cos x\left| \begin{array}{l}2004\pi \\0\end{array} \right.\).  

B. \(I = 2004\int\limits_0^\pi  {\sqrt {1 - \cos 2x} } \,dx\).

C. \(I = 4008\sqrt 2 \).        

D. \(I = 2004\sqrt 2 \int\limits_0^\pi  {\sin x\,dx} \).

Câu 3. Tìm nguyên hàm của \(f(x) = 4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}\) trên \((0; + \infty )\).

A. \(4\cos x + \ln x + C\). 

B. \(4\cos x + \dfrac{1}{x} + C\).

C. \(4\sin x - \dfrac{1}{x} + C\).   

D. \(4\sin x + \dfrac{1}{x} + C\).

Câu 4. Mệnh đề nào sau đây là sai ?

A. \(\int\limits_a^c {f(x)\,dx = \int\limits_a^b {f(x)\,dx + \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } } \).

B. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_a^c {f(x)\,dx - \int\limits_b^c {f(x)\,dx} } } \).

C. \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx = \int\limits_b^a {f(x)\,dx + \int\limits_a^c {f(x)\,dx} } } \).

D.  \(\int\limits_a^b {cf(x)\,dx =  - c\int\limits_b^a {f(x)\,dx} } \)

Câu 5. Tính nguyên hàm \(\int {{{\sin }^3}x.\cos x\,dx} \) ta được kết quả là:

A. \( - {\sin ^4}x + C\).                 

B. \(\dfrac{1}{4}{\sin ^4}x + C\).

C. \( - \dfrac{1}{4}{\sin ^4}x + C\).                  

D. \({\sin ^4}x + C\).

Câu 6. Giả sử hình phẳng tạo bởi đường cong \(y = {\sin ^2}x,\,\,y =  - {\cos ^2}x\,,\,x = \pi ,\,x = 2\pi \) có diện tích là S. Lựa chọn phương án đúng :

A. \(S = \pi \).    

B. \(S = 2\pi \).

C. \(S = \dfrac{\pi }{2}\).               

D. Cả 3 phương án trên đều sai.

Câu 7. Gọi \(\int {{{2009}^x}\,dx}  = F(x) + C\) . Khi đó F(x) là hàm số:

A. \({2009^x}\ln 2009\).          

B. \(\dfrac{{{{2009}^x}}}{{\ln 2009}}\).

C. \({2009^x} + 1\).                     

D. \({2009^x}\).

Câu 8. Cho tích phân \(I = \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\text{d}}x} ,\) nếu đặt 

\(\left\{ \matrix{
u = f\left( x \right) \hfill \cr
{\rm{d}}v = g'\left( x \right){\rm{d}}x \hfill \cr} \right.\) thì:

A. \(I = \left. {f\left( x \right).g'\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f'\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

B. \(I = \left. {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

C. \(I = \left. {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f'\left( x \right).g\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

D. \(I = \left. {f\left( x \right).g'\left( x \right)} \right|_a^b - \int\limits_a^b {f\left( x \right).g'\left( x \right){\rm{d}}x} .\)

Câu 9. Giả sử \(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}} = \ln K} \). Giá trị của K là:

A. 1                                 B. 3  

C. 80                               D. 9.

Câu 10. Nếu \(\int\limits_a^d {f(x)\,dx = 5\,,\,\,\int\limits_b^d {f(x)\,dx = 2} \,} \) với a  < d < b thì \(\int\limits_a^b {f(x)\,dx} \) bằng :

A. 3 .                               B. 2          

C. 10                               D. 0

Câu 11. Nếu \(\int {f(x)\,dx = {e^x} + {{\sin }^2}x}  + C\) thì f(x) bằng

A. \({e^x} + 2\sin x\).     

B. \({e^x} + \sin 2x\).

C. \({e^x} + {\cos ^2}x\).                        

D. \({e^x} - 2\sin x\).

Câu 12. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?

A. Nếu f(x), g(x) là các hàm số liên tục trên R thì \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} \,dx = \int {f(x)\,dx + \int {g(x)\,dx} } \)

B. Nếu các hàm số u(x), v(x) liên tục và có đạo hàm trên R thì \(\int {u(x)v'(x)\,dx + \int {v(x)u'(x)\,dx = u(x)v(x)} } \)

C. Nếu F(x) và G(x) đều là nguyên hàm của hàm số f(x) thì F(x) – G(x) = C ( với C là hằng số )

D. \(F(x) = {x^2}\) là một nguyên hàm của f(x) = 2x.

Câu 13. Tìm họ các nguyên hàm của hàm số f(x) = 2sinx.

A. \(\int {2\sin x\,dx = {{\sin }^2}x}  + C\). 

B. \(\int {2\sin x\,dx = 2\cos x}  + C\).

C. \(\int {2\sin x\,dx =  - 2\cos x}  + C\).  

D. \(\int {2\sin x\,dx = \sin 2x}  + C\).

Câu 14. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(u = {x^2} - 2x + 3\), trục Ox và đường thẳng x = -1 , x =2 bằng :

A. \(\dfrac{1}{3}\)                           B. 17                

C. 7                            D. 9

Câu 15. Tính tích phân \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\cos x + {e^x}} \right)\,dx} \).

A. \(I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 2\).  

B. \(I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} + 1\).

C. \(I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}} - 2\)              

D. \(I = {e^{\dfrac{\pi }{2}}}\).

Câu 16. Biết rằng hàm số \(f(x) = {\left( {6x + 1} \right)^2}\) có một nguyên hàm \(F(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) thỏa mãn điều kiện F(-1.) 20. Tính tổng a + b + c + d.

A. 46                               B. 44  

C. 36                               D. 54

Câu 17. Để tính \(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {{x^2}\cos x\,dx} \) theo phương pháp tích pân từng phần , ta đặt:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}u = x\\dv = x\cos x\,dx\end{array} \right.\).   

B. \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos x\,dx\end{array} \right.\).

C. \(\left\{ \begin{array}{l}u = \cos x\\dv = {x^2}\,dx\end{array} \right.\). 

D. \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\cos x\\dv = \,dx\end{array} \right.\)

Câu 18. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?

A. Hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\) có nguyên hàm trên \(( - \infty ; + \infty )\).

B. \(3{x^2}\) là một nguyên hàm của \({x^3}\) trên \(( - \infty ; + \infty )\).

C. Hàm số \(y = |x|\) có nguyên hàm trên \(( - \infty ; + \infty )\).

D. \(\dfrac{1}{x} + C\) là họ nguyên hàm của lnx trên \((0; + \infty )\).

Câu 19. Hàm số nào sau đây không phải là một nguyên hàm của: \(f(x) = {2^{\sqrt x }}\dfrac{{\ln x}}{{\sqrt x }}\) ?

A. \(2\left( {{2^{\sqrt x }} - 1} \right) + C\).

B. \({2^{\sqrt x }} + C\).

C. \({2^{\sqrt x  + 1}}\).                    

D. \(2\left( {{2^{\sqrt x }} + 1} \right) + C\).

Câu 20. Đổi biến u = lnx thì tích phân \(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\,dx} \) thành:

A. \(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)\,du} \)

B. \(I = \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}\,du} \).

C. \(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)\,{e^{ - u}}du} \).

D. \(I = \int\limits_1^0 {\left( {1 - u} \right)\,{e^{2u}}du} \).

Câu 21. Tính tích phân \(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{x^3}\cos x\,dx} \) ta được:

A. \(\dfrac{{2{\pi ^3}\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{3} + 6 - 4\sqrt 3 \). 

B. \(\dfrac{{{\pi ^3}\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{6} + 6 - 4\sqrt 3 \).

C. \(\dfrac{{2{\pi ^3}\sqrt 3 }}{{27}} + \dfrac{{{\pi ^2}}}{3} + 3 - 2\sqrt 3 \). 

D. 0.

Câu 22. Tính nguyên hàm \(\int {{x^2}\sqrt {{x^3} + 5} } \,dx\) ta được kết quả là :

A. \(\dfrac{2}{9}{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\).  

B. \(\dfrac{2}{9}{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{2}{3}}} + C\).

C. \(2{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\). 

D. \(2{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{2}{3}}} + C\).

Câu 23. Tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} \) ta thu được:

A. \(\cot x - 2\tan x + C\).  

B. \( - \cot x + 2\tan x + C\).

C. \(\cot x + 2\tan x + C\).  

D. \( - \cot x - 2\tan x + C\)  

Câu 24. Hàm số \(f(x) = x\sqrt {x + 1} \) có một nguyên hàm là F(x). Nếu F(0) = 2 thì F(3) bằng bao nhiêu ?

A. \(\dfrac{{146}}{{15}}\)                            B. \(\dfrac{{116}}{{15}}\)  

C. \(\dfrac{{886}}{{105}}\)                            D. \(\dfrac{{105}}{{886}}\).

Câu 25. Cho F(x) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {e^x} + 2x\) thỏa mãn \(F(0) = \dfrac{3}{2}\). Tìm F(x).

A. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{3}{4}\).        

B. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}\).

C. \(F(x) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{5}{2}\).   

D. \(F(x) = {e^x} + {x^2} - \dfrac{1}{2}\).

Lời giải chi tiết

1

2

3

4

5

C

A

C

C

B

6

7

8

9

10

A

B

C

B

A

11

12

13

14

15

B

B

C

D

D

16

17

18

19

20

A

B

C

B

B

21

22

23

24

25

D

A

D

A

B

 Lời giải chi tiết 

Câu 1.

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(x = g\left( y \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\), trục \(Oy\) và hai đường thẳng \(y = a;y = b\) quay quanh trục \(Oy\) ta được khối tròn xoay có thể tích là: \({V_y} = \pi \int\limits_a^b {{g^2}\left( y \right)} \;dy\)

Áp dụng vào bài toán, ta có \({y^2} + x = 0 \Rightarrow x =  - {y^2}\).

Đồ thị hàm số \(x =  - {y^2}\) liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\), trục Oy và hai đường thẳng \(y = 0,\;y = 1\)

Khi đó thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục Oy được tính bởi:

\(V = \pi \int\limits_0^1 {\left( { - {y^2}} \right){\,^2}dy}  = V = \pi \int\limits_0^1 {{y^4}\,dy} .\)

Chọn đáp án C.

Câu 2.

Ta có:

\(I = \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \cos 2x} \,dx} \)

\(\;\;\;= \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt {1 - \left( {1 - 2{{\sin }^2}x} \right)} \;dx}  \)

\(\;\;\;= \int\limits_0^{2004\pi } {\sqrt 2 \left| {\sin x} \right|\;dx} \)

\(\;\;\;= \sqrt 2 \left| {\cos x} \right|\left| {_0^{2004\pi }} \right.\)

\( \to \) Đáp án C sai.

Chọn đáp án C.

Câu 3.

Ta có \(\int {\left( {4\cos x + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)} \;dx \)\(\,= 4\sin x - \dfrac{1}{x} + C.\)

Chọn đáp án C.

Câu 4.

Ta có: \(\int\limits_b^c {f\left( x \right)} \;dx = \int\limits_b^a {f\left( x \right)\,dx + \int\limits_a^c {f\left( {x\,} \right)dx} } \)

\( \to \) Đáp án C sai.

Chọn đáp án C.

Câu 5.

Ta có: \(\int {{{\sin }^3}x.\cos x\,dx}  = \int {{{\sin }^3}x\;d\left( {\sin x} \right)}\)\(\,  = \dfrac{1}{4}{\sin ^4}x + C.\)

Chọn đáp án B.

Câu 6.

Hình phẳng gới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {\sin ^2}x,\,\,y =  - {\cos ^2}x\) lên tục trên đoạn \(\left[ {\pi ;2\pi } \right]\) và hai đường thẳng \(x = \pi ,\,x = 2\pi \). Diện tích hình phẳng đó được xác định bởi công thức:

\(S = \int\limits_\pi ^{2\pi } \left| {{{\sin }^2}x - \left({  - {{\cos }^2}x} \right)} \right|dx \\\;\;\;=  \int\limits_\pi ^{2\pi } \left| {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right|dx \)\(\;\;\;= \int\limits_\pi ^{2\pi } {1.dx}  = x\left| {_\pi ^{2\pi }} \right.  = 2\pi  - \pi  = \pi \)

Chọn đáp án A.

Câu 7.

Áp dụng công thức \(\int {{a^x}\;dx}  = \dfrac{{{a^x}}}{{\ln a}}\; + C\)

Ta có: \(\int {{{2009}^x}\,dx}  = \dfrac{{{{2009}^x}}}{{\ln 2009}} + C\)

Chọn đáp án B.

Câu 8

Chọn đáp án C.

Câu 9.

Áp dụng công thức nguyên hàm \(\int {\dfrac{1}{{ax + b}}\;dx}  = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\)

Khi đó ta có:

\(\int\limits_1^5 {\dfrac{{dx}}{{2x - 1}} = } \left( {\dfrac{1}{2}\ln \left| {2x - 1} \right|} \right)\left| {_{_{_1^{}}^{}}^{_{}^{_{}^5}}} \right. \)\(\,= \dfrac{1}{2}\ln 9 - \dfrac{1}{2}\ln 1 = \ln 3.\)

Chọn đáp án B.

Câu 10.

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx = 5\,} \\\int\limits_b^d {f\left( x \right)\,dx = 2} \,\end{array} \right. \\\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx = 5\,} \\ - \int\limits_d^b {f\left( x \right)\,dx = 2} \,\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx = 5\,} \\\int\limits_d^b {f\left( x \right)\,dx =  - 2} \,\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(\int\limits_a^d {f\left( x \right)dx\, + \int\limits_d^b {f\left( x \right)\,dx} \,}  \)\(\,= 5 + \left( { - 2} \right) = 3.\)

Chọn đáp án A.

Câu 11.

Ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {{e^x}} \right) = {e^x}dx\\d\left( {{{\sin }^2}x} \right) = 2\sin x.\cos x\,dx\end{array} \right. \\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d\left( {{e^x}} \right) = {e^x}dx\\d\left( {{{\sin }^2}x} \right) = \sin 2x\,dx\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(f\left( x \right) = {e^x} + \sin 2x\)

Chọn đáp án B.

Câu 12.

Áp dụng tính chất, định lý về nguyên hàm – tích phân ta có:

+ Nếu \(f\left( x \right),\,g\left( x \right)\) là các hàm số liên tục trên R thì \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]} \,dx = \int {f\left( x \right)\,dx + \int {g\left( x \right)\,dx} } \)

+ Nếu các hàm số \(u\left( x \right),\;v\left( x \right)\)liên tục và có đạo hàm trên R thì \(\int {u\left( x \right)v'\left( {x\,} \right)dx + \int {v\left( x \right)u'\left( x \right)\,dx = u\left( x \right)v\left( x \right)} } \).

+ Ta có: \(\int {2x\,dx = {x^2} + C.} \)

\( \to \) Đáp án C sai.

Chọn đáp án C.

Câu 13.

Ta có: \(\int {f\left( x \right)} \,dx = \int {2\sin x\,dx}  \)\(\,=  - 2\cos x + C\)

Chọn đáp án C.

Câu 14.

Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^2} - 2x + 3\), trục Ox và đường thẳng \(x =  - 1,x = 2\) được xác định bằng công thức :\(S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\,dx} \)

Khi đó ta có:

 \(\begin{array}{l}S = \int\limits_{ - 1}^2 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)\,dx} \\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 3x} \right)\left| \begin{array}{l}^2\\_{ - 1}\end{array} \right.\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{{2^3}}}{3} - {2^2} + 3.2} \right) - \left( {\dfrac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{3} - {{\left( { - 1} \right)}^2} + 3.\left( { - 1} \right)} \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{{14}}{3} - \left( { - \dfrac{{13}}{3}} \right) = \dfrac{{27}}{3} = 9\end{array}\)

Chọn đáp án D.

Câu 15.

Ta có:

\(I = \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\left( {\cos x + {e^x}} \right)\,dx} \)

\(\;\; = \left( {\sin x + {e^x}} \right)\left| {_{_{_{_0^{}}^{}}}^{\dfrac{\pi }{2}}} \right. \)

\(\;\;= \left( {\sin \dfrac{\pi }{2} + {e^{\dfrac{\pi }{2}}}} \right) - \left( {\sin 0 + {e^0}} \right)\)

\(\;\;= {e^{\dfrac{\pi }{2}}}.\)

Chọn đáp án D.

Câu 16.

Ta có \(f\left( x \right) = {\left( {6x + 1} \right)^2} = 36{x^2} + 12x + 1\)

Khi đó ta có: \(\int {\left( {36{x^2} + 12x + 1} \right)\,dx}  \)\(\,= 12{x^3} + 6{x^2} + x + d\)

\( \Rightarrow F\left( x \right) = 12{x^3} + 6{x^2} + x + d\)

Theo giải thiết ta có \(F\left( { - 1} \right) = 20 \)

\(\Rightarrow 12.\left( { - 1} \right){}^3 + 6.{\left( { - 1} \right)^2} + \left( { - 1} \right) + d = 20 \)

\(\Leftrightarrow d = 27\)

Vậy: \(a + b + c + d = 12 + 6 + 1 + 27 = 46.\)

Chọn đáp án A.

Câu 17.

Phương pháp tích phân từng phần

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^2}\\dv = \cos x\,dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2x\,dx\\v = \sin x\end{array} \right.\)

Chọn đáp án B.

Câu 18. 

+ Hàm số \(y = \dfrac{1}{x}\) không liên tục trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\) thì không có nguyên hàm luên tục trên\(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\)

\( \to \) Đáp án A sai.

+ Ta có: \(\int {{x^3}\,dx = \dfrac{{{x^4}}}{4} + C} \)\( \to \) Đáp án B sai.

+ Ta có: \(\int {\ln x\,dx} \)  . Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x\\dv = dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = \dfrac{1}{x}dx\\v = x\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(\int {\ln x\,dx}  = x\ln x - \int {x.\dfrac{1}{x}dx} \)\(\, = x\ln x - \int {dx}  = x\ln x - x + C\)

\( \to \) Đáp án D sai.

Chọn đáp án C.

Câu 19.

Ta có:

\(\int {{2^{\sqrt x }}\dfrac{{\ln x}}{{\sqrt x }}dx}  \\= \int {{2^{\sqrt x }}\dfrac{{\ln {{\left( {\sqrt x } \right)}^2}}}{{\sqrt x }}} \,d\left( {{{\left( {\sqrt x } \right)}^2}} \right) \\= 4\int {{2^{\sqrt x }}\ln \left( {\sqrt x } \right)} \,d\left( {\sqrt x } \right)\\ = {2^{\sqrt x  + 1}} + C\)

Chọn đáp án B.

Câu 20.

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = \ln x \Rightarrow du = \dfrac{1}{x}dx\\u = \ln x \Rightarrow x = {e^u} \Rightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{{e^u}}} = {e^{ - u}}\end{array} \right.\)

Đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \to u = 0\\x = e \to u = 1\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(I = \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{{{x^2}}}\,dx}  \\\;\;= \int\limits_1^e {\dfrac{{1 - \ln x}}{x}d\left( {\ln x} \right)}  \\\;\;= \int\limits_0^1 {\left( {1 - u} \right){e^{ - u}}} du\)

Chọn đáp án B.

Câu 21.

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {x^3}\\dv = \cos xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 3{x^2}dx\\v = \sin x\end{array} \right.\)

Khi đó ta có:

\(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{x^3}\cos x\,dx}  \\= \left( {{x^3}\sin x} \right)\left| {_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}} \right. - 3\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\sin x.{x^2}dx} \)

Đặt \(I = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{x^2}\sin x\,dx} \).            

Ta có: \(I = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{x^2}\sin x\,dx} \)\(\, = \left( { - {x^2}\cos x} \right)\left| {_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}} \right. + 2\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\cos x.} \,xdx\)

Đặt \({I_1} = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {x\cos xdx} \)

Ta có: \({I_1} = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {x\cos xdx} \)\(\, = \left( {x\sin x} \right)\left| {_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}} \right. - \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {\sin xdx} \)

\( = \left( {\dfrac{\pi }{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right)\left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)} \right) - \left( { - \cos x} \right)\left| {_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}} \right.\)\( = 0 - \left( { - \dfrac{1}{2} - \left( { - \dfrac{1}{2}} \right)} \right) = 0\)

Khi đó \(I = \left( { - {x^2}\cos x} \right)\left| {_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}} \right. \)\(\,= \left( { - \dfrac{{{\pi ^2}}}{9}.\dfrac{1}{2}} \right) - \left( { - \dfrac{{{\pi ^2}}}{9}.\dfrac{1}{2}} \right) = 0\)

Khi đó \(\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}} {{x^3}\cos x\,dx}\)\(\,  = \left( {{x^3}\sin x} \right)\left| {_{ - \dfrac{\pi }{3}}^{\dfrac{\pi }{3}}} \right. \)\(\,= \dfrac{{{\pi ^3}}}{{27}}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} - \left( { - \dfrac{{{\pi ^3}}}{{27}}} \right)\left( { - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 0\)

Chọn đáp án D.

Câu 22.

Ta có:

\(\int {{x^2}\sqrt {{x^3} + 5} } \,dx \)

\(= \dfrac{1}{3}\int {\sqrt {{x^3} + 5} } \,d\left( {{x^3} + 5} \right) \)

\(= \dfrac{1}{3}\int {{{\left( {{x^3} + 5} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}} d\left( {{x^3} + 5} \right) \)

\(= \dfrac{2}{9}{\left( {{x^3} + 5} \right)^{\dfrac{3}{2}}} + C\)

Chọn đáp án A.

Câu 23.

Ta có: \(\begin{array}{l}\int {\dfrac{{1 - 2{{\tan }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\,dx} \\ = \int {\left( {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} - \dfrac{2}{{{{\cos }^2}x}}} \right)\,dx} \\ = \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,dx - 2\int {\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx} } \\ =  - \cot x - 2\tan x + C\end{array}\)

Chọn đáp án D.

Câu 24.

Ta có: \(\int {x\sqrt {x + 1} \,dx} \)

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  \Rightarrow {t^2} = x + 1\)\(, \Leftrightarrow x = t{}^2 - 1\)

\( \Rightarrow dx = d\left( {{t^2} - 1} \right) = 2t\,dt\)

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\int {x\sqrt {x + 1} \,dx} \\ = \int {\left( {{t^2} - 1} \right)t.2tdt} \\ = 2\int {\left( {{t^4} - {t^2}} \right)dt} \\ = 2\left( {\dfrac{{{t^5}}}{5} - \dfrac{{{t^3}}}{3}} \right) + C\end{array}\)

Với \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \to t = 1\\x = 3 \to t = 2\end{array} \right.\)         

Theo giải thiết \(F\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow 2\left( {\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3}} \right) + C = 2 \)\(\,\Leftrightarrow C = \dfrac{{34}}{{15}}\)

Khi đó \(F\left( {x = 3} \right) = F\left( {t = 2} \right) \)\(\,= 2\left( {\dfrac{{{2^5}}}{5} - \dfrac{{{2^3}}}{3}} \right) + \dfrac{{34}}{{15}} = \dfrac{{146}}{{15}}.\)

Chọn đáp án A.

Câu 25.

Ta có: \(\int {\left( {{e^x} + 2x} \right)\,} dx = {e^x} + {x^2} + C.\)

Theo giải thiết ta có: \(F\left( 0 \right) = \dfrac{3}{2} \)

\(\Rightarrow {e^0} + {0^2} + C = \dfrac{3}{2} \Rightarrow C = \dfrac{1}{2}\)

Khi đó ta có: \(F\left( x \right) = {e^x} + {x^2} + \dfrac{1}{2}\)

Chọn đáp án B.

Loigiaihay.com

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 2 – Chương III -  Giải tích 12 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 2 – Chương III - Giải tích 12

Đáp án và lời giải chi tiết Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 2 – Chương III - Giải tích 12

Xem chi tiết
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 3 – Chương III -  Giải tích 12 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 3 – Chương III - Giải tích 12

Đáp án và lời giải chi tiết Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 3 – Chương III - Giải tích 12

Xem chi tiết
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 4 – Chương III -  Giải tích 12 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 4 – Chương III - Giải tích 12

Đáp án và lời giải chi tiết Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 4 – Chương III - Giải tích 12

Xem chi tiết
Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 5 – Chương III -  Giải tích 12 Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 5 – Chương III - Giải tích 12

Đáp án và lời giải chi tiết Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) – Đề số 5 – Chương III - Giải tích 12

Xem chi tiết
Bài 1 trang 43 SGK Giải tích 12 Bài 1 trang 43 SGK Giải tích 12

Giải bài 1 trang 43 SGK Giải tích 12. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số bậc ba sau:

Xem chi tiết
Bài 1 trang 23 SGK Giải tích 12 Bài 1 trang 23 SGK Giải tích 12

Giải bài 1 trang 23 SGK Giải tích 12. Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

Xem chi tiết
Bài 1 trang 30 SGK Giải tích 12 Bài 1 trang 30 SGK Giải tích 12

Giải bài 1 trang 30 SGK Giải tích 12. Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số:

Xem chi tiết
Bài 2 trang 30 SGK Giải tích 12 Bài 2 trang 30 SGK Giải tích 12

Giải bài 2 trang 30 SGK Giải tích 12. Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số:

Xem chi tiết

>>Học trực tuyến luyện thi THPTQG, Đại học 2020, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới nâng cao.