Câu 5.6 trang 179 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao


Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của các hàm số sau đây trên R

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Xét tính liên tục, sự tồn tại đạo hàm và tính đạo hàm nếu có của các hàm số sau đây trên R

LG a

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} - x + 2\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 2 \hfill \cr{1 \over {x - 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 2 \hfill \cr}  \right.\)            

Giải chi tiết:

 – Với \(x < 2\) thì \(f\left( x \right) = {x^2} - x + 2\) là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là \(f'\left( x \right) = 2x - 1\)

     – Với \(x > 2\) thì \(f\left( x \right) = {1 \over {x - 1}}\) là hàm số liên tục và đạo hàm của nó là

                                    \(f'\left( x \right) =- {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

     – Với \(x = 2\) thì ta có

                        \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - x + 2} \right) = 4\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {1 \over {x - 1}} = 1\)

Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\), suy ra không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\), tức là hàm số không liên tục tại điểm \(x = 2\), nên nó cũng không có đạo hàm tại điểm này.

LG b

 \(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} + x\,\,\,\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr{2 \over x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \ge 1 \hfill \cr}  \right.\)

Giải chi tiết:

Tương tự như bài a), dễ dàng chứng minh rằng hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 1\)  và

\(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x + 1\,\,khi\,\,x < 1 \hfill \cr- {2 \over {{x^2}}}\,\,\,khi\,\,\,x > 1 \hfill \cr}  \right.\)

Xét tính liên tục và sự tồn tại đạo hàm tại điểm \(x = 1\). Vì

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = 2 = f\left( 1 \right)\)

Nên hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 1\)

Mặt khác ta có

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\left( {{x^2} + x} \right) - 2} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {x + 2} \right) = 3\)

Và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{{2 \over x} - 2} \over {x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( { - {2 \over x}} \right) =  - 2\)

Do đó

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \over {x - 1}}\)

Suy ra hàm số đã cho không có đạo hàm tại điểm \(x = 1\)

LG c

\(f\left( x \right) = \left\{ \matrix{{x^2} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x \le 0 \hfill \cr- {x^3} + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x > 0 \hfill \cr}  \right.\)

 

Giải chi tiết:

Chứng minh tương tự như ý trên, ta thấy hàm số đã cho liên tục và có đạo hàm tại mọi điểm \(x \ne 0\) và

\(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x\,\,\,khi\,\,\,x < 0 \hfill \cr- 3{x^2}\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr}  \right.\)

Xét tính liên tục và sự tồn tại điểm \(x = 0\)

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = 1 = f(1)\)

Suy ra hàm số f(x) liên tục tại điểm x = 0

Mặt khác ta có:

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{\left( {{x^2} + 1} \right) - 1} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} x = 0\)

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\left( { - {x^3} + 1} \right) - 1} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( { - {x^2}} \right) = 0\)

Vì  \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = 0\) nên suy ra

 \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)} \over {x - 0}} = 0\)

Hay \(f'\left( 0 \right) = 0\)

Vậy với mọi \(x \in R\), hàm số đã cho có đạo hàm và

\(f'\left( x \right) = \left\{ \matrix{2x\,\,\,khi\,\,\,x < 0 \hfill \cr - 3{x^2}\,\,\,khi\,\,x > 0 \hfill \cr}  \right.\)

Chú ý. Có thể không cần chứng minh hàm số đã cho liên tục tại điểm \(x = 0\) (theo định nghĩa) như đã làm, mà lí luận như sau (khi đã chứng minh được \(f'\left( 0 \right) = 0\): “vì hàm số đã cho có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nên nó liên tục tại điểm đó”.

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1: Khái niệm đạo hàm

>>KHOÁ NỀN TẢNG LỚP 12 DÀNH CHO 2K4 NĂM 2022 học sớm chiếm lợi thế luyện thi TN THPT & ĐH


Gửi bài