Câu 4.5 trang 134 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Chứng minh

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi

\(\left\{ \matrix{
{u_1} = {1 \over 2} \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over {n + 1}}\,\,\,\,\, \hfill \cr} \right.\)

Chứng minh rằng \({u_n} > 0\) và

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {1 \over 2}\) với mọi n

Lời giải chi tiết:

- Chứng minh \({u_n} > 0\) với mọi n bằng phương pháp quy nạp theo n:

+) Với n = 1 suy ra \({u_1} = {1 \over 2}>0\), (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có \(u_k>0\)

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1

\({u_{k + 1}} = {{{u_k}} \over {k+1}} >0\) vì \(u_k>0\) và k+1>0

Suy ra \({u_n} > 0\) với mọi n (đpcm)

- Chứng minh \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {1 \over 2}\) với mọi n:

\({u_n} > 0\) với mọi n nên ta có:

\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}=\frac{1}{n+1} \le {1 \over 2}\) vì \(n+1\ge 2\) với mọi \(n \ge 1\)

Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& {u_2} \le {1 \over 2}{u_1} \cr
& {u_3} \le {1 \over 2}{u_2} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^2}{u_1},... \cr
& 0 \le {u_n} < {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}}{u_1} = {1 \over 2}{\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}} \cr} \)\(=\left( {{1 \over 2}} \right)^n\)

\(\lim {\left( {{1\over 2}} \right)^n} = 0\)

Theo nguyên lý kẹp ta có \(\lim {u_n} = 0\)

Loigiaihay.com

Bình luận

Chia sẻ

Bình chọn:

4.9 trên 7 phiếu

Bài tiếp theo

Câu 4.6 trang 134 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng
Câu 4.4 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh
Câu 4.3 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng các dãy số sau đây có giới hạn 0:
Câu 4.2 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng hai dãy số
Câu 4.1 trang 133 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh rằng các dãy số sau với số hạng tổng quát có giới hạn 0:

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 11 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.