Bài 9 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho mặt cầu (S) có phương trình a) Tìm tọa độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu. b) Tùy theo giá trị k, xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(P): . c) Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C khác gốc tọa độ O. Viết phương trình mp(ABC). d) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B. e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0.\)

LG a

Tìm tọa độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu.

Lời giải chi tiết:

Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z = 0.\)

Có a=1,b=2,c=3, d=0 nên \(R = \sqrt {1 + 4 + 9 - 0}  = \sqrt {14} \)

Mặt cầu có tâm I(1; 2; 3) và có bán kính \(R = \sqrt {14} .\)

Cách khác:

Phương trình: x2+y2+z2-2x-4y-6z=0

⇔ (x-1)2+(y-2)2+(z-3)2=14

Vậy mặt cầu (S) có tâm là I = (1; 2; 3), bán kính R = √14

LG b

Tùy theo giá trị k, xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(P): \(x + y - z + k = 0\).

Lời giải chi tiết:

Khoảng cách từ điểm I đến mp(P) là: \(d(I,(P)) = {{\left| {1 + 2 - 3 + k} \right|} \over {\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = {{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }}.\)
i) \({{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} < \sqrt {14}  \Leftrightarrow \left| k \right| < \sqrt {42} :\,\,\left( P \right)\) cắt (S) theo một giao tuyến là một đường tròn.
ii) \({{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} = \sqrt {14}  \Leftrightarrow \left| k \right| = \sqrt {42} :\,\,\left( P \right)\) tiếp xúc với (S).
iii) \({{\left| k \right|} \over {\sqrt 3 }} > \sqrt {14}  \Leftrightarrow \left| k \right| > \sqrt {42} :\,\,\left( P \right)\) không cắt (S).

LG c

Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C khác gốc tọa độ O. Viết phương trình mp(ABC).

Lời giải chi tiết:

(S) cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (khác O) thì A(2; 0; 0) ; B(0; 4; 0) ; C(0; 0; 6).

Phương trình mặt phẳng (ABC): \({x \over 2} + {y \over 4} + {z \over 6} = 1.\)

LG d

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B.

Lời giải chi tiết:

\(Mp\left( \alpha  \right)\) tiếp xúc với (S) tại B thì \(\left( \alpha  \right)\) qua B và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {IB}  = \left( { - 1;2; - 3} \right)\).
Vậy \(\left( \alpha  \right): - \left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 4} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - 2y + 3z + 8 = 0.\)

LG e

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình \(4x + 3y - 12z - 1 = 0.\)

Lời giải chi tiết:

Mp(Q’) // mp(Q) nên (Q’) có phương trình: \(4x + 3y - 12z + D = 0\,\,\left( {D \ne  - 1} \right).\)
(Q’) tiếp xúc với (S)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow d\left( {I;\left( {Q'} \right)} \right) = R \cr &\Leftrightarrow {{\left| {4.1 + 3.2 - 12.3 + D} \right|} \over {\sqrt {{4^2} + {3^2} + {{12}^2}} }} = \sqrt {14} . \cr 
& \Leftrightarrow {{\left| {D - 26} \right|} \over {13}} = \sqrt {14} \cr &\Leftrightarrow D = 26 \pm 13\sqrt {14} . \cr} \)

Vậy có hai mặt phẳng cần tìm là: \(4x + 3y - 12z + 26 \pm 13\sqrt {14}  = 0.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 2 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài