Bài 7 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho hai đường thẳng và a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d. c) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai đường thẳng 

\(d:\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 3 \hfill \cr 
z = 6 + t \hfill \cr} \right.\) và 

\(d':\left\{ \matrix{
x = 2 + t \hfill \cr 
y = 1 - t \hfill \cr 
z = 2 - t \hfill \cr} \right.\)

LG a

Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {0;3;6} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;0;1} \right)\).

Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {2;1;2} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).
Ta có

\(\eqalign{
& \overrightarrow {MM'} = \left( {2; - 2; - 4} \right)\,;\cr &\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {1;2; - 1} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} = 2 - 4 + 4 = 2 \ne 0. \cr} \)

Vậy d và d’ chéo nhau.
Ta có \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  = 1 + 0 - 1 = 0 \) \(\Rightarrow d \bot d'.\)

LG b

Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d.

Lời giải chi tiết:

Mp(P) đi qua \(M\left( {0;3;6} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {n'}  = \left( {1; - 1; - 1} \right)\) nên ta có phương trình:

\(x - \left( {y - 3} \right) - \left( {z - 6} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x - y - z + 9 = 0\)

Mp(Q) đi qua \(M'\left( {2;1;2} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1;0;1} \right)\) nên có phương trình: \(\left( {x - 2} \right) + z - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x + z - 4 = 0\)

LG c

Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’.

Lời giải chi tiết:

Đường vuông góc chung \(\Delta \) của d và d’ là giao tuyến của mp(P) và mp(Q) nên

\(\Delta :\left\{ \matrix{
x - y - z + 9 = 0 \hfill \cr 
x + z - 4 = 0 \hfill \cr} \right.\).

Cho x = 0 ta có y = 5 và z = 4. Suy ra A(0; 5; 4)\( \in \Delta \) , \(\Delta \) có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,1 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( { - 1; - 2;1} \right)\)

Phương trình chính tắc của \(\Delta :\,{x \over { - 1}} = {{y - 5} \over { - 2}} = {{z - 4} \over 1}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 6 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài