Bài 8 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình: và . a) Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó. b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua , song song với cả (P) và (Q). c) Viết phương trình mp(R) đi qua , vuông góc với cả (P) và (Q).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình:
\(\left( P \right):2x - y + z + 2 = 0\) và \(\left( Q \right):x + y + 2z - 1 = 0\).

LG a

Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó.

Lời giải chi tiết:

Hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có các vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_P}}  = \left( {2; - 1;1} \right)\) và \(\overrightarrow {{n_Q}}  = \left( {1;1;2} \right)\).

Vì \(\frac{2}{1} \ne \frac{{ - 1}}{1} \ne \frac{1}{2}\) nên hai vectơ đó không cùng phương nên (P) và (Q) cắt nhau.
Gọi \(\varphi\)  là góc giữa hai mặt phẳng đó thì:
\(\cos \varphi  = {{\left| {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {{n_P}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_Q}} } \right|}} = {{\left| {2 - 1 + 2} \right|} \over {\sqrt 6 .\sqrt 6 }} = {1 \over 2}\).
Vậy \(\varphi  = {60^0}.\)

LG b

Viết phương trình đường thẳng d đi qua \(A\left( {1;2; - 3} \right)\), song song với cả (P) và (Q).

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d song song với cả (P) và (Q) nên d có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) vuông góc với cả \(\overrightarrow {{n_P}} \) và \(\overrightarrow {{n_Q}} \).

Vì \(\left[ {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { - 3; - 3;3} \right)\) nên ta có thể lấy \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Ngoài ra điểm \(A\left( {1;2; - 3} \right)\) không nằm trên cả (P) và (Q) nên đường thẳng d cần tìm có phương trình: \({{x - 1} \over 1} = {{y - 2} \over 1} = {{z + 3} \over { - 1}}\).

LG c

Viết phương trình mp(R) đi qua \(B\left( { - 1;3;4} \right)\), vuông góc với cả (P) và (Q).

Lời giải chi tiết:

\(\left( R \right) \bot \left( P \right)\,\,;\,\,\left( R \right) \bot \left( Q \right)\)

Suy ra (R) đi qua \(B\left( { - 1;3;4} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u  = \left( {1;1; - 1} \right)\) nên (R) có phương trình: \(x + 1 + y - 3 - \left( {z - 4} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow x + y - z + 2 = 0.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài