Bài 5 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho hai đường thẳng: và . a) Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữa chúng. b) Tìm khoảng cách giữa d và d’. c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’. d) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai đường thẳng: \(d:{x \over 1} = {{y - 1} \over 2} = {{z - 6} \over 3}\) và

\(d':\left\{ \matrix{
x = 1 + t \hfill \cr 
y = - 2 + t \hfill \cr 
3 - t \hfill \cr} \right.\).

LG a

Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữa chúng.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng đi qua M(0; 1; 6) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;2;3} \right)\).

Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {1; - 2;3} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1;1; - 1} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {1; - 3; - 3} \right);\) \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( { - 5;4; - 1} \right)\)
\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} \) \( =  - 5.1 - 3.4 + 1.3 =  - 14 \ne 0\).
Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.

Vì \(\overrightarrow u .\overrightarrow {u'}  =1.1+2.1-3.1= 0 \) \(\Rightarrow d \bot d'\).

LG b

Tìm khoảng cách giữa d và d’.

Lời giải chi tiết:

Gọi h là khoảng cách giữa d và d’, ta có:
\(h = {{\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|} \over {\left| {\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}} = {{14} \over {\sqrt {25 + 16 + 1} }} = {{\sqrt {42} } \over 3}\).

LG c

Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’.

Lời giải chi tiết:

d có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = t \hfill \cr 
y = 1 + 2t \hfill \cr 
z = 6 + 3t \hfill \cr} \right.\).

Lấy điểm N(t; 1 + 2t; 6 + 3t)\( \in d\) và \(N'\left( {1 + t'; - 2 + t';3 - t'} \right) \in d'\).
NN’ là đường vuông góc chung của d và d’ khi và chỉ khi \(\overrightarrow {NN'}  \bot \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {NN'}  \bot \overrightarrow {u'} \). Ta có:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {NN'} = \left( {1 + t' - t; - 3 + t' - 2t; - 3 - t' - 3t} \right) \cr 
& \left\{ \matrix{
\overrightarrow {NN'} .\overrightarrow u = 0 \hfill \cr 
\overrightarrow {NN'} .\overrightarrow {u'} = 0 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 + t' - t + 2\left( { - 3 + t' - 2t} \right) + 3\left( { - 3 - t' - 3t} \right) = 0 \hfill \cr 
1 + t' - t - 3 + t' - 2t + 3 + t' + 3t = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 14 - 14t = 0 \hfill \cr 
1 + 3t' = 0 \hfill \cr} \right.\cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = - 1 \hfill \cr 
t' = - {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(N\left( { - 1; - 1;3} \right)\) và \(N'\left( {{2 \over 3}; - {7 \over 3};{{10} \over 3}} \right)\).
\(\overrightarrow {NN'}  = \left( {{5 \over 3};{{ - 4} \over 3};{1 \over 3}} \right)\).
Phương trình đường vuông góc chung qua \(N\left( { - 1; - 1;3} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow v  = 3\overrightarrow {NN'}  = \left( {5; - 4;1} \right)\) nên có phương trình tham số là:

\(\left\{ \matrix{
x = - 1 + 5t \hfill \cr 
y = - 1 - 4t \hfill \cr 
z = 3 + t \hfill \cr} \right.\)

Cách khác:

Theo câu a, ta có d⊥d', vậy đường vuông góc của d và d’ chính là giao tuyến của mp(P) và mp(Q).

Trong đó mp(P) chứa d và vuông góc với d’, mp(Q) chứa d’ và vuông góc với d.

(P) đi qua \(M\left( {0;1;6} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {u'}  = \left( {1;1; - 1} \right)\) làm VTPT nên có phương trình là:

1(x-0)+1(y-1)-1(z-6)=0

\( \Leftrightarrow \) x+y-z+5=0

(Q) đi qua \(M'\left( {1; - 2;3} \right)\) và nhận \(\overrightarrow u  = \left( {1;2;3} \right)\) làm VTPT nên có phương trình là:

1(x-1)+2(y-2)+3(z-3)=0

\( \Leftrightarrow \)x+2y+3z-6=0

Vậy phương trình đường vuông góc chung của d và d’ là: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y - z + 5 = 0\\x + 2y + 3z - 6 = 0\end{array} \right.\)

Cho \(x =  - 1\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y - z =  - 4\\2y + 3z = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y =  - 1\\z = 3\end{array} \right.\) ta được điểm \(A\left( { - 1; - 1;3} \right) \in \Delta \).

\(\Delta \) là giao tuyến của (P) và (Q) nên \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right] = \left( {5; - 4;1} \right)\).

Vậy \(\Delta \) có PTTS \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 1 + 5t\\y =  - 1 - 4t\\z = 3 + t\end{array} \right.\)

LG d

Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường thẳng \(\Delta \) song song với Oz, cắt d và d’ lần lượt tại A và B.
Khi đó ta có \(A\left( {t;1 + 2t;6 + 3t} \right)\,,\) \(B\left( {1 + t', - 2 + t',3 - t'} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1 + t' - t; - 3 + t' - 2t; - 3 - t' - 3t} \right).\)

Vì \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương với \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) nên

\(1 + t' - t = - 3 + t' - 2t = 0\) \( \Rightarrow \left\{ \matrix{
t = - 4 \hfill \cr 
t' = - 5 \hfill \cr} \right.\).

Vậy \(A\left( { - 4; - 7; - 6} \right)\) và \(\overrightarrow {AB}  = \left( {0;0;14} \right)\).
Vậy phương trình của \(\Delta \) là 

\(\left\{ \matrix{
x = - 4 \hfill \cr 
y = - 7 \hfill \cr 
z = - 6 + t \hfill \cr} \right.\)

Cách khác:

Đường thẳng song song với Oz và cắt cả d và d’ là giao tuyến của mp(α) và mp(β);

Trong đó (α) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz.

(β) là mặt phẳng chứa d’ và song song với Oz.

Đường thẳng Oz có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\)

Mặt phẳng (α) đi qua M(0; 1; 6) và nhận  \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = \left( {2; - 1;0} \right)\) làm vectơ pháp tuyến nên (α) có phương trình là: 2x-y+1=0

Tương tự mp(β) có phương trình: x – y- 3 =0

Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \(\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - y - 3 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y =  - 7\\z \text { tùy ý }\end{array} \right.\)

Hay phương trình tham số của đường thẳng là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4\\y =  - 7\\z = t\end{array} \right.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 4 phiếu
  • Bài 6 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường thẳng và . a) Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng. b) Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.

  • Bài 7 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường thẳng và a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d. c) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’.

  • Bài 8 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình: và . a) Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó. b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua , song song với cả (P) và (Q). c) Viết phương trình mp(R) đi qua , vuông góc với cả (P) và (Q).

  • Bài 9 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho mặt cầu (S) có phương trình a) Tìm tọa độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu. b) Tùy theo giá trị k, xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(P): . c) Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C khác gốc tọa độ O. Viết phương trình mp(ABC). d) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B. e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình

  • Bài 10 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia AA’, AB, AD (có chung gốc A) lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n và AP = p. a) Tìm sự liên hệ giữa m, n và p sao cho mp(MNP) đi qua đỉnh của hình lập phương. b) Trong trường hợp mp(MNP) luôn đi qua C’, hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.