Bài 3 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình: . a) Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P) b) Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz. c) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình:

\(d:\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr 
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( P \right):x - 3y + z - 1 = 0\).

LG a

Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P)

Phương pháp giải:

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P) thì \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) là hình chiếu của d trên (P).

Lời giải chi tiết:

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P) thì \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) là hình chiếu của d trên (P).

Đường thẳng d đi qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)\).

Mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}    = \left( {1; - 3;1} \right)\).

Mp(Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    \bot \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {{n_Q}}    \bot \overrightarrow {{n_P}}  \).

Vì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_{(P)}}}   } \right] = \left( {4;0; - 4} \right)\) nên chọn \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    = \left( {1;0; - 1} \right)\).

(Q) chứa d nên (Q) qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)\) do đó (Q) có phương trình \(x - {2 \over 3} - z = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x - 3z - 2 = 0\)

Ta có

\(d':\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr 
3x - 3z - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Cho z = 0, ta có \(x = {2 \over 3},y =  - {1 \over 9} \) \(\Rightarrow A\left( {{2 \over 3}; - {1 \over 9};0} \right) \in d'\) và d’ có vectơ chỉ phương là

\(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
0\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr 
3\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {9;6;9} \right) = 3\left( {3;2;3} \right).\)

Phương trình tham số của d’ là

\(\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + 3t \hfill \cr 
y = - {1 \over 9} + 2t \hfill \cr 
z = 3t \hfill \cr} \right.\).

LG b

Viết phương trình đường thẳng \({d_1}\) là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz.

Phương pháp giải:

Gọi (R) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz (hoặc chứa Oz) thì \({d_1} = \left( P \right) \cap \left( R \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi (R) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz (hoặc chứa Oz) thì \({d_1} = \left( P \right) \cap \left( R \right)\).
Mp(R) đi qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến vuông góc với cả \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)\) và \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) (vectơ chỉ phương Oz) nên \(\overrightarrow {{n_R}}    = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Mp(R) có phương trình là \(1\left( {x - {2 \over 3}} \right) - 1\left( {y + {{11} \over 3}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x - 3y - 13 = 0\)
Ta có

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr 
3x - 3y - 13 = 0 \hfill \cr} \right.\).

Cho y = 0, ta có \(x = {{13} \over 3},z =  - {{10} \over 3}\) suy ra \(B\left( {{{13} \over 3};0; - {{10} \over 3}} \right) \in {d_1}\).
\({d_1}\) có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_R}} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr 
3\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {3;3;6} \right) = 3\left( {1;1;2} \right).\)

Vậy \({d_1}\) có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = {{13} \over 3} + t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = - {{10} \over 3} + 2t \hfill \cr} \right.\)

LG c

Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).

Lời giải chi tiết:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với mp(P) thì (P’) có phương trình: x – 3y + z = 0.

Giao điểm I của đường thẳng d và mp(P’) có tọa độ thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr 
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr 
x - 3y + z = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow I\left( {{{37} \over 3};8;{{35} \over 3}} \right)\)

Đường thẳng đi qua O và I là đường thẳng cần tìm, ta có phương trình:

\({x \over {{{37} \over 3}}} = {y \over 8} = {z \over {{{35} \over 3}}}\) \( \Leftrightarrow {x \over {37}} = {y \over {24}} = {z \over {35}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu
  • Bài 4 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho điểm A(2; 3; 1) và hai đường thẳng: a) Viết phương trình mp(P) đi qua A và . b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A và . c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả và . d) Tính khoảng cách từ A đến .

  • Bài 5 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường thẳng: và . a) Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữa chúng. b) Tìm khoảng cách giữa d và d’. c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’. d) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.

  • Bài 6 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường thẳng và . a) Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng. b) Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.

  • Bài 7 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường thẳng và a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d. c) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’.

  • Bài 8 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình: và . a) Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó. b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua , song song với cả (P) và (Q). c) Viết phương trình mp(R) đi qua , vuông góc với cả (P) và (Q).

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.