Bài 3 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình: . a) Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P) b) Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz. c) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình:

\(d:\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr 
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( P \right):x - 3y + z - 1 = 0\).

LG a

Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P)

Phương pháp giải:

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P) thì \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) là hình chiếu của d trên (P).

Lời giải chi tiết:

Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P) thì \(d' = \left( P \right) \cap \left( Q \right)\) là hình chiếu của d trên (P).

Đường thẳng d đi qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)\) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)\).

Mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}    = \left( {1; - 3;1} \right)\).

Mp(Q) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    \bot \overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {{n_Q}}    \bot \overrightarrow {{n_P}}  \).

Vì \(\left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {{n_{(P)}}}   } \right] = \left( {4;0; - 4} \right)\) nên chọn \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    = \left( {1;0; - 1} \right)\).

(Q) chứa d nên (Q) qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)\) do đó (Q) có phương trình \(x - {2 \over 3} - z = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x - 3z - 2 = 0\)

Ta có

\(d':\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr 
3x - 3z - 2 = 0 \hfill \cr} \right.\)

Cho z = 0, ta có \(x = {2 \over 3},y =  - {1 \over 9} \) \(\Rightarrow A\left( {{2 \over 3}; - {1 \over 9};0} \right) \in d'\) và d’ có vectơ chỉ phương là

\(\overrightarrow a = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
0\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr 
3\,\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {9;6;9} \right) = 3\left( {3;2;3} \right).\)

Phương trình tham số của d’ là

\(\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + 3t \hfill \cr 
y = - {1 \over 9} + 2t \hfill \cr 
z = 3t \hfill \cr} \right.\).

LG b

Viết phương trình đường thẳng \({d_1}\) là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz.

Phương pháp giải:

Gọi (R) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz (hoặc chứa Oz) thì \({d_1} = \left( P \right) \cap \left( R \right)\).

Lời giải chi tiết:

Gọi (R) là mặt phẳng chứa d và song song với Oz (hoặc chứa Oz) thì \({d_1} = \left( P \right) \cap \left( R \right)\).
Mp(R) đi qua \({M_0}\left( {{2 \over 3}; - {{11} \over 3};0} \right)\) và có vectơ pháp tuyến vuông góc với cả \(\overrightarrow u  = \left( {1;1;1} \right)\) và \(\overrightarrow k  = \left( {0;0;1} \right)\) (vectơ chỉ phương Oz) nên \(\overrightarrow {{n_R}}    = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right] = \left( {1; - 1;0} \right)\).
Mp(R) có phương trình là \(1\left( {x - {2 \over 3}} \right) - 1\left( {y + {{11} \over 3}} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 3x - 3y - 13 = 0\)
Ta có

\({d_1}:\left\{ \matrix{
x - 3y + z - 1 = 0 \hfill \cr 
3x - 3y - 13 = 0 \hfill \cr} \right.\).

Cho y = 0, ta có \(x = {{13} \over 3},z =  - {{10} \over 3}\) suy ra \(B\left( {{{13} \over 3};0; - {{10} \over 3}} \right) \in {d_1}\).
\({d_1}\) có vectơ chỉ phương

\(\overrightarrow v = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_R}} } \right] \) \(= \left( {\left| \matrix{
- 3\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
1\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr 
3\,\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right) \) \(= \left( {3;3;6} \right) = 3\left( {1;1;2} \right).\)

Vậy \({d_1}\) có phương trình tham số là

\(\left\{ \matrix{
x = {{13} \over 3} + t \hfill \cr 
y = t \hfill \cr 
z = - {{10} \over 3} + 2t \hfill \cr} \right.\)

LG c

Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).

Lời giải chi tiết:

Gọi (P) là mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với mp(P) thì (P’) có phương trình: x – 3y + z = 0.

Giao điểm I của đường thẳng d và mp(P’) có tọa độ thỏa mãn hệ:

\(\left\{ \matrix{
x = {2 \over 3} + t \hfill \cr 
y = - {{11} \over 3} + t \hfill \cr 
z = t \hfill \cr 
x - 3y + z = 0 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow I\left( {{{37} \over 3};8;{{35} \over 3}} \right)\)

Đường thẳng đi qua O và I là đường thẳng cần tìm, ta có phương trình:

\({x \over {{{37} \over 3}}} = {y \over 8} = {z \over {{{35} \over 3}}}\) \( \Leftrightarrow {x \over {37}} = {y \over {24}} = {z \over {35}}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.6 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài