Bài 6 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho hai đường thẳng và . a) Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng. b) Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 7 + 3t \hfill \cr 
y = 2 + 2t \hfill \cr 
z = 1 - 2t \hfill \cr} \right.\) và \(d':{{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over { - 3}} = {{z - 5} \over 4}\).

LG a

Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {7;2;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {3;2; - 2} \right)\).

Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {1; - 2;5} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {2; - 3;4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( { - 6; - 4;4} \right)\)

\(\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] \cr &= \left( {\left| \matrix{
2\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 2\,\,\,\,3 \hfill \cr 
4\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
3\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 
2\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right) \cr &= \left( {2; - 16; - 13} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} \cr &= - 2.6 + 16.4 - 13.4 = 0 \cr} \)

Vậy d và d’ đồng phẳng.

Mà \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) không cùng phương nên d và d’ cắt nhau.

Mp(P) chứa d và d’ đi qua \(M\left( {7;2;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {2; - 16; - 13} \right)\) do đó (P) có phương trình là:

\(2\left( {x - 7} \right) - 16\left( {y - 2} \right) - 13\left( {z - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x - 16y - 13z + 31 = 0\)

LG b

Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ.

Lời giải chi tiết:

Giao điểm của mp(P) với các trục tọa độ là: \(A\left( {{{ - 31} \over 2};0;0} \right)\,\,;\,\,B\left( {0;{{31} \over {16}};0} \right)\,\,;\) \(C\left( {0;0;{{31} \over {13}}} \right)\)
Thể tích tứ diện OABC là \(C = {1 \over 6}OA.OB.OC = {1 \over 6}.{{31} \over 2}.{{31} \over {16}}.{{31} \over {13}} \) \(= {{{{31}^3}} \over {2496}}.\)

LG c

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC đi qua O nên có phương trình có dạng:

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz = 0\)

\(A,B,C \in \left( S \right) \)

\(\Rightarrow  \left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - \frac{{31}}{2}} \right)^2} - 2a.\left( { - \frac{{31}}{2}} \right) = 0\\
{\left( {\frac{{31}}{{16}}} \right)^2} - 2b.\frac{{31}}{{16}} = 0\\
{\left( {\frac{{31}}{{13}}} \right)^2} - 2c.\frac{{31}}{{13}} = 0
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \matrix{
a = - {{31} \over 4} \hfill \cr 
b = {{31} \over {32}} \hfill \cr 
c = {{31} \over {26}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + {{31} \over 2}x - {{31} \over {16}}y - {{31} \over {13}}z = 0\)

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Góp ý Loigiaihay.com, nhận quà liền tay
Gửi bài