Bài 6 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho hai đường thẳng và . a) Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng. b) Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai đường thẳng

\(d:\left\{ \matrix{
x = 7 + 3t \hfill \cr 
y = 2 + 2t \hfill \cr 
z = 1 - 2t \hfill \cr} \right.\) và \(d':{{x - 1} \over 2} = {{y + 2} \over { - 3}} = {{z - 5} \over 4}\).

LG a

Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng.

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng d đi qua \(M\left( {7;2;1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {3;2; - 2} \right)\).

Đường thẳng d’ đi qua \(M'\left( {1; - 2;5} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( {2; - 3;4} \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( { - 6; - 4;4} \right)\)

\(\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right] \cr &= \left( {\left| \matrix{
2\,\,\,\,\, - 2 \hfill \cr 
- 3\,\,\,\,\,4 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 2\,\,\,\,3 \hfill \cr 
4\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
3\,\,\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 
2\,\,\,\, - 3 \hfill \cr} \right|} \right) \cr &= \left( {2; - 16; - 13} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow u ;\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} \cr &= - 2.6 + 16.4 - 13.4 = 0 \cr} \)

Vậy d và d’ đồng phẳng.

Mà \(\overrightarrow u \) và \(\overrightarrow {u'} \) không cùng phương nên d và d’ cắt nhau.

Mp(P) chứa d và d’ đi qua \(M\left( {7;2;1} \right)\) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {2; - 16; - 13} \right)\) do đó (P) có phương trình là:

\(2\left( {x - 7} \right) - 16\left( {y - 2} \right) - 13\left( {z - 1} \right) = 0 \) \(\Leftrightarrow 2x - 16y - 13z + 31 = 0\)

LG b

Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ.

Lời giải chi tiết:

Giao điểm của mp(P) với các trục tọa độ là: \(A\left( {{{ - 31} \over 2};0;0} \right)\,\,;\,\,B\left( {0;{{31} \over {16}};0} \right)\,\,;\) \(C\left( {0;0;{{31} \over {13}}} \right)\)
Thể tích tứ diện OABC là \(C = {1 \over 6}OA.OB.OC = {1 \over 6}.{{31} \over 2}.{{31} \over {16}}.{{31} \over {13}} \) \(= {{{{31}^3}} \over {2496}}.\)

LG c

Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.

Lời giải chi tiết:

Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC đi qua O nên có phương trình có dạng:

\(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz = 0\)

\(A,B,C \in \left( S \right) \)

\(\Rightarrow  \left\{ \begin{array}{l}
{\left( { - \frac{{31}}{2}} \right)^2} - 2a.\left( { - \frac{{31}}{2}} \right) = 0\\
{\left( {\frac{{31}}{{16}}} \right)^2} - 2b.\frac{{31}}{{16}} = 0\\
{\left( {\frac{{31}}{{13}}} \right)^2} - 2c.\frac{{31}}{{13}} = 0
\end{array} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \matrix{
a = - {{31} \over 4} \hfill \cr 
b = {{31} \over {32}} \hfill \cr 
c = {{31} \over {26}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} + {{31} \over 2}x - {{31} \over {16}}y - {{31} \over {13}}z = 0\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu
  • Bài 7 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường thẳng và a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d. c) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’.

  • Bài 8 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có phương trình: và . a) Chứng minh rằng (P) và (Q) cắt nhau. Tìm góc giữa hai mặt phẳng đó. b) Viết phương trình đường thẳng d đi qua , song song với cả (P) và (Q). c) Viết phương trình mp(R) đi qua , vuông góc với cả (P) và (Q).

  • Bài 9 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho mặt cầu (S) có phương trình a) Tìm tọa độ tâm mặt cầu và bán kính mặt cầu. b) Tùy theo giá trị k, xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) và mp(P): . c) Mặt cầu cắt ba trục Ox, Oy, Oz tại ba điểm A, B, C khác gốc tọa độ O. Viết phương trình mp(ABC). d) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm B. e) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) và song song với mặt phẳng (Q) có phương trình

  • Bài 10 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Trên các tia AA’, AB, AD (có chung gốc A) lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho AM = m, AN = n và AP = p. a) Tìm sự liên hệ giữa m, n và p sao cho mp(MNP) đi qua đỉnh của hình lập phương. b) Trong trường hợp mp(MNP) luôn đi qua C’, hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?

  • Bài 5 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường thẳng: và . a) Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữa chúng. b) Tìm khoảng cách giữa d và d’. c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’. d) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.

  • Bài 4 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho điểm A(2; 3; 1) và hai đường thẳng: a) Viết phương trình mp(P) đi qua A và . b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A và . c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả và . d) Tính khoảng cách từ A đến .

  • Bài 3 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình: . a) Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P) b) Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz. c) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).

  • Bài 2 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai điểm và mặt phẳng (P): . a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P). b) Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P). c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P). d) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.

  • Bài 1 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho bốn điểm . a) Chứng minh rằng bốn điểm đó không đồng phẳng. b) Tính thể tích tứ diện ABCD. c) Viết phương trình mp(BCD). d) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mp(BCD). Tìm tọa độ tiếp điểm.

  • Bài 8 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Giải bài 8 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao. Trong các trường hợp sau, làm thế nào để xác định được tọa độ của điểm...

  • Bài 7 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Giải bài 7 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao. Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để tính khoảng cách:...

  • Bài 6 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Giải bài 6 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao. Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để xác định được vị trí tương đối...

  • Bài 5 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Giải bài 5 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao. Trong những trường hợp sau, làm thế nào để viết phương trình đường thẳng:...

  • Bài 4 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Giải bài 4 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao. Trong mỗi trường hợp sau, hãy nêu cách viết phương trình mặt phẳng:...

  • Bài 3 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Giải bài 3 trang 108 SGK Hình học 12 Nâng cao. Bằng phương pháp tọa độ, làm thế nào để chứng minh:...

  • Bài 2 trang 107 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Giải bài 2 trang 107 sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao. Cho tọa độ bốn đỉnh của một hình tứ diện, làm thế nào để tìm:...

  • Bài 1 trang 107 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Giải bài 1 trang 107 sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao. Cho biết tọa độ hai điểm A, B. Làm thế nào để tìm:...

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài