Bài 2 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho hai điểm và mặt phẳng (P): . a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P). b) Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P). c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P). d) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai điểm \(A\left( {1; - 1; - 2} \right)\,\,;\,\,B\left( {3;1;1} \right)\) và mặt phẳng (P): \(x - 2y + 3z - 5 = 0\).

LG a

Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P).

Lời giải chi tiết:

+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và (d) ⊥ mp(P).

Đường thẳng (d) đi qua A(1, -1, -2) và nhận vectơ pháp tuyến của mp(P) là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là vectơ chỉ phương, nên đường thẳng (d) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\end{array} \right.\)

+ Tìm tọa độ giao điểm H của d và mp(P)

Tọa độ của H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\\x - 2y + 3z - 5 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\\1 + t - 2\left( { - 1 - 2t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 5 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\\ - 8 + 14t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{4}{7}\\x = \dfrac{{11}}{7}\\y =  - \dfrac{{15}}{7}\\z =  - \dfrac{2}{7}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H\left( {\dfrac{{11}}{7}; - \dfrac{{15}}{7}; - \dfrac{2}{7}} \right)\)

+ Vì A và A’ đối xứng với nhau qua mp(P) nên H chính là trung điểm của AA’, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\\{z_A} + {z_{A'}} = 2{z_H}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {x_{A'}} = \dfrac{{22}}{7}\\ - 1 + {y_{A'}} =  - \dfrac{{30}}{7}\\ - 2 + {z_{A'}} =  - \dfrac{4}{7}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = \dfrac{{15}}{7}\\{y_{A'}} =  - \dfrac{{23}}{7}\\{z_{A'}} = \dfrac{{10}}{7}\end{array} \right.\)

Cách khác:

Điểm \(A'\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đối xứng với A qua mp(P) khi và chỉ khi:

+) \(\overrightarrow {AA'}  = \left( {{x_0} - 1,{y_0} + 1,{z_0} + 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P)

+) Trung điểm \(I\left( {{{{x_0} + 1} \over 2};{{{y_0} - 1} \over 2};{{{z_0} - 2} \over 2}} \right)\) của AA’ nằm trên (P).

\(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AA'} \) cùng phương \(\overrightarrow n \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x_0} - 1}}{1} = \dfrac{{{y_0} + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{{z_0} + 2}}{3} = t\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 + t\\{y_0} =  - 1 - 2t\\{z_0} =  - 2 + 3t\end{array} \right.\)

Lại có \(I \in \left( P \right)\) nên \(\dfrac{{{x_0} + 1}}{2} - 2.\dfrac{{{y_0} - 1}}{2} + 3.\dfrac{{{z_0} - 2}}{2} - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2 + t}}{2} - \left( { - 2 - 2t} \right) + 3.\dfrac{{ - 4 + 3t}}{2} - 5 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 + t + 4 + 4t - 12 + 9t - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 16 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{8}{7}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{{15}}{7}\\{y_0} =  - \dfrac{{23}}{7}\\{z_0} = \dfrac{{10}}{7}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(A'\left( {{{15} \over 7}; - {{23} \over 7};{{10} \over 7}} \right)\)

LG b

Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;3} \right)\); mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = \left( {1; - 2;3} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AB và mp(P) ta có \(0 \le \varphi  \le {90^0}\) và \(\sin \varphi  = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} .\left| {\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right|} \right|}} = {{\left| {2 - 4 + 9} \right|} \over {\sqrt {17.14} }} = {7 \over {\sqrt {238} }}\).

LG c

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) là vectơ pháp tuyến của mp(Q) thì \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) \( \bot \) \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) \( \bot \) \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} \) nên chọn
\(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_{(P)}}}   } \right] = \left( {12; - 3; - 6} \right)\)
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
\(12\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) - 6\left( {z + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4x - y - 2z - 9 = 0\).

LG d

Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.

Lời giải chi tiết:

Tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = - 1 + 2t \hfill \cr 
z = - 2 + 3t \hfill \cr 
x - 2y + 3z - 5 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Rightarrow 1 + 2t - 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 5 = 0\cr & \Rightarrow t = {8 \over 7} \cr} \)

Vậy \(I\left( {{{23} \over 7};{9 \over 7};{{10} \over 7}} \right).\)
Gọi \(\overrightarrow u \) và vectơ chỉ phương của \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) \( \bot \) \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  \,\); \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {AB} \) nên chọn

\(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}}   ;\overrightarrow {AB} } \right] \) \(= \left( { - 12;3;6} \right) =  - 3\left( {4; - 1; - 2} \right)\).
Vậy \(\Delta \) có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = {{23} \over 7} + 4t \hfill \cr 
y = {9 \over 7} - t \hfill \cr 
z = {{10} \over 7} - 2t \hfill \cr} \right.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 4 phiếu
  • Bài 3 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình: . a) Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu vuông góc của d trên mp(P) b) Viết phương trình đường thẳng là hình chiếu song song của d trên mp(P) theo phương Oz. c) Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O, cắt d và song song với mp(P).

  • Bài 4 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho điểm A(2; 3; 1) và hai đường thẳng: a) Viết phương trình mp(P) đi qua A và . b) Viết phương trình mp(Q) đi qua A và . c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A cắt cả và . d) Tính khoảng cách từ A đến .

  • Bài 5 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường thẳng: và . a) Chứng minh hai đường thẳng đó chéo nhau. Tìm góc giữa chúng. b) Tìm khoảng cách giữa d và d’. c) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của d và d’. d) Viết phương trình đường thẳng song song với Oz, cắt cả d và d’.

  • Bài 6 trang 110 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường thẳng và . a) Chứng minh rằng d và d’ đồng phẳng. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa chúng. b) Tính thể tích hình tứ diện giới hạn bởi mp(P) và ba mặt phẳng tọa độ. c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên.

  • Bài 7 trang 111 SGK Hình học 12 Nâng cao

    Cho hai đường thẳng và a) Chứng minh rằng d và d’ chéo nhau và vuông góc với nhau. b) Viết phương trình mp(P) đi qua d và vuông góc với d’, phương trình mp(Q) đi qua d’ và vuông góc với d. c) Viết phương trình chính tắc của đường vuông góc chung của d và d’.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.