Bài 2 trang 109 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho hai điểm và mặt phẳng (P): . a) Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P). b) Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P). c) Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P). d) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P). Viết phương trình đường thẳng nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho hai điểm \(A\left( {1; - 1; - 2} \right)\,\,;\,\,B\left( {3;1;1} \right)\) và mặt phẳng (P): \(x - 2y + 3z - 5 = 0\).

LG a

Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua mp(P).

Lời giải chi tiết:

+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và (d) ⊥ mp(P).

Đường thẳng (d) đi qua A(1, -1, -2) và nhận vectơ pháp tuyến của mp(P) là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;3} \right)\) là vectơ chỉ phương, nên đường thẳng (d) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\end{array} \right.\)

+ Tìm tọa độ giao điểm H của d và mp(P)

Tọa độ của H là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\\x - 2y + 3z - 5 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\\1 + t - 2\left( { - 1 - 2t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 5 = 0\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y =  - 1 - 2t\\z =  - 2 + 3t\\ - 8 + 14t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = \dfrac{4}{7}\\x = \dfrac{{11}}{7}\\y =  - \dfrac{{15}}{7}\\z =  - \dfrac{2}{7}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H\left( {\dfrac{{11}}{7}; - \dfrac{{15}}{7}; - \dfrac{2}{7}} \right)\)

+ Vì A và A’ đối xứng với nhau qua mp(P) nên H chính là trung điểm của AA’, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{x_H}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_H}\\{z_A} + {z_{A'}} = 2{z_H}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 + {x_{A'}} = \dfrac{{22}}{7}\\ - 1 + {y_{A'}} =  - \dfrac{{30}}{7}\\ - 2 + {z_{A'}} =  - \dfrac{4}{7}\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = \dfrac{{15}}{7}\\{y_{A'}} =  - \dfrac{{23}}{7}\\{z_{A'}} = \dfrac{{10}}{7}\end{array} \right.\)

Cách khác:

Điểm \(A'\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) đối xứng với A qua mp(P) khi và chỉ khi:

+) \(\overrightarrow {AA'}  = \left( {{x_0} - 1,{y_0} + 1,{z_0} + 2} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của (P)

+) Trung điểm \(I\left( {{{{x_0} + 1} \over 2};{{{y_0} - 1} \over 2};{{{z_0} - 2} \over 2}} \right)\) của AA’ nằm trên (P).

\(\left( P \right)\) có VTPT \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 2;3} \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AA'} \) cùng phương \(\overrightarrow n \)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{{x_0} - 1}}{1} = \dfrac{{{y_0} + 1}}{{ - 2}} = \dfrac{{{z_0} + 2}}{3} = t\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = 1 + t\\{y_0} =  - 1 - 2t\\{z_0} =  - 2 + 3t\end{array} \right.\)

Lại có \(I \in \left( P \right)\) nên \(\dfrac{{{x_0} + 1}}{2} - 2.\dfrac{{{y_0} - 1}}{2} + 3.\dfrac{{{z_0} - 2}}{2} - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{2 + t}}{2} - \left( { - 2 - 2t} \right) + 3.\dfrac{{ - 4 + 3t}}{2} - 5 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2 + t + 4 + 4t - 12 + 9t - 10 = 0\\ \Leftrightarrow 14t - 16 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{8}{7}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_0} = \dfrac{{15}}{7}\\{y_0} =  - \dfrac{{23}}{7}\\{z_0} = \dfrac{{10}}{7}\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(A'\left( {{{15} \over 7}; - {{23} \over 7};{{10} \over 7}} \right)\)

LG b

Tìm góc giữa đường thẳng AB và mp(P).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;2;3} \right)\); mp(P) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  = \left( {1; - 2;3} \right)\).

Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng AB và mp(P) ta có \(0 \le \varphi  \le {90^0}\) và \(\sin \varphi  = {{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right|} \over {\left| {\overrightarrow {AB} .\left| {\overrightarrow {{n_{(P)}}} } \right|} \right|}} = {{\left| {2 - 4 + 9} \right|} \over {\sqrt {17.14} }} = {7 \over {\sqrt {238} }}\).

LG c

Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, B và vuông góc với mp(P).

Lời giải chi tiết:

Gọi \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) là vectơ pháp tuyến của mp(Q) thì \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) \( \bot \) \(\overrightarrow {AB} \); \(\overrightarrow {{n_{(Q)}}} \) \( \bot \) \(\overrightarrow {{n_{(P)}}} \) nên chọn
\(\overrightarrow {{n_{(Q)}}}    = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {{n_{(P)}}}   } \right] = \left( {12; - 3; - 6} \right)\)
Phương trình mặt phẳng (Q) là:
\(12\left( {x - 1} \right) - 3\left( {y + 1} \right) - 6\left( {z + 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4x - y - 2z - 9 = 0\).

LG d

Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng AB và mp(P). Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) nằm trong (P), đi qua I và vuông góc với AB.

Lời giải chi tiết:

Tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình

\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
x = 1 + 2t \hfill \cr 
y = - 1 + 2t \hfill \cr 
z = - 2 + 3t \hfill \cr 
x - 2y + 3z - 5 = 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Rightarrow 1 + 2t - 2\left( { - 1 + 2t} \right) + 3\left( { - 2 + 3t} \right) - 5 = 0\cr & \Rightarrow t = {8 \over 7} \cr} \)

Vậy \(I\left( {{{23} \over 7};{9 \over 7};{{10} \over 7}} \right).\)
Gọi \(\overrightarrow u \) và vectơ chỉ phương của \(\Delta \) thì \(\overrightarrow u \) \( \bot \) \(\overrightarrow {{n_{(P)}}}  \,\); \(\overrightarrow u  \bot \overrightarrow {AB} \) nên chọn

\(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_{(P)}}}   ;\overrightarrow {AB} } \right] \) \(= \left( { - 12;3;6} \right) =  - 3\left( {4; - 1; - 2} \right)\).
Vậy \(\Delta \) có phương trình tham số là 

\(\left\{ \matrix{
x = {{23} \over 7} + 4t \hfill \cr 
y = {9 \over 7} - t \hfill \cr 
z = {{10} \over 7} - 2t \hfill \cr} \right.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 2 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài