Bài 46 trang 141 Vở bài tập toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ cân tại $A.$ Trên tia đối của $BC$ lấy điểm $M$, trên tia đối của tia $CB$ lấy điểm $N$ sao cho $BM = CN.$

a) Chứng minh rằng tam giác $AMN$ là tam giác cân.

b) Kẻ $BH ⊥ AM$ ($H \in AM$), kẻ $CK ⊥ AN\; (K  \in  AN).$ Chứng minh rằng $BH = CK.$

c) Chứng minh rằng $AH = AK.$

d) Gọi $O$ là giao điểm của $HB$ và $KC.$ Tam giác $OBC$ là tam giác gì? Vì sao?

e) Khi $\widehat {BAC} = {60^o}$ và $BM = CN = BC,$ hãy tính số đo các góc của tam giác $AMN$ và xác định dạng của tam giác $OBC.$

Lời giải chi tiết

a) $∆ABC$ cân tại $A$, $\Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}$ (góc đáy của tam giác cân).

$\Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {ACN}$ (cùng bù với hai góc bằng nhau $\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}}$)

$∆ABM$ và $∆ACN$ có:

$AB = AC$ (vì $∆ABC$ cân tại $A$)

$\widehat {ABM} = \widehat {ACN}$ (chứng minh trên)

$BM = CN$ (gt)

Do đó $∆ABM = ∆ACN$ (c.g.c)

suy ra $\widehat M = \widehat N$ (hai góc tương ứng)

Tam giác $AMN$ có $\widehat M = \widehat N$ nên là tam giác cân.

b) Các tam giác vuông $BHM$ và $CKN$ có :

cạnh huyền $BM = CN$ (gt)

góc nhọn $\widehat M = \widehat N$ (chứng minh trên)

Do đó $∆BHM  = ∆CKN$ (cạnh huyền - góc nhọn)

suy ra $BH = CK$ (hai cạnh tương ứng)

c) Các tam giác vuông $ABH$ và $ACK$ có:

cạnh huyền $AB=AC$ (vì $∆ABC$ cân tại $A$)

cạnh góc vuông $BH = CK$ (chứng minh câu b)

Do đó $\Delta ABH=\Delta ACK$

suy ra $AH = AK$ (hai cạnh tương ứng).

d) $∆BHM = ∆CKN$ (câu b)

suy ra $\widehat {{B_2}} = \widehat {{C_2}}$ (hai góc tương ứng)

Ta lại có $\widehat {{B_3}}=\widehat {{B_2}}$ (đối đỉnh); $\widehat {{C_3}}=\widehat {{C_2}}$ (đối đỉnh) nên $\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}$.

Tam giác $OBC$ có $\widehat {{B_3}} = \widehat {{C_3}}$ nên là tam giác cân tại $O.$

e) (h75) Ta có thêm $\widehat {BAC} = {60^o}$ và $BM = CN = BC$.

$\Delta ABC$ cân có $\widehat {A} = {60^o}$ nên là tam giác đều suy ra $\widehat {{B_1}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {BAC} = {60^o}$.

Tam giác $ABM$ có $AB=BM$ (cùng bằng $BC$) nên là tam giác cân, suy ra $\widehat M = \widehat {BAM}$

Ta lại có $\widehat M + \widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}} = {60^o}$ nên $\widehat M = \widehat {{A_1}} = {60^o}:2 = {30^o}$

Chứng minh tương tự, ta được: $\widehat N = {30^o}$

Tam giác $AMN$ có $\widehat M = \widehat N = {30^o}$ nên $\widehat {MAN} = {180^o} - {30^o} - {30^o} = {120^o}$

Tam giác $BHM$ vuông tại $H$ có $\widehat M = {30^o}$ nên $\widehat {{B_2}} = {90^o} - {30^o} = {60^o}$

$\widehat {{B_3}} = \widehat {{B_2}} = {60^o}$

Tam giác $OBC$ cân (câu d) có $\widehat {{B_3}} = {60^o}$ nên tam giác $OBC$ là tam giác đều.

Loigiaihay.com