Bài 2.28 trang 62 SBT hình học 12


Đề bài

Cho hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) chéo nhau nhận AA’ làm đoạn vuông góc chung, trong đó A thuộc \(\Delta \)  và A’ thuộc \(\Delta '\)  . Gọi (P) là mặt phẳng qua A vuông góc với \(\Delta '\)  và d là hình chiếu vuông góc của \(\Delta \)  trên mặt phẳng (P). Đặt  AA’ = a, góc nhọn giữa \(\Delta \)  và d là \(\alpha \). Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt \(\Delta \) và \(\Delta '\) lần lượt tại M và M’. Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

a) Chứng minh 5 điểm A, A’ , M, M’ , M1 cùng nằm trên  mặt cầu (S). xác định tâm O của (S). Tính bán kính của (S) theo a, \(\alpha \) và khoảng cách x giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

b) Khi x thay đổi, tâm O của mặt cầu (S) di động trên đường nào? Chứng minh rằng khi (Q) thay đổi mặt cầu (S) luôn luôn đi qua một đường tròn cố định.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Chứng minh các điểm A, A', M cùng nhìn đoạn thẳng \(M'{M_1}\) một góc \(90^0\).

Lời giải chi tiết

a) Vì mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với \(\displaystyle \Delta '\) nên AA’ thuộc (P). Vì M thuộc \(\displaystyle \Delta \) mà d là hình chiếu vuông góc của \(\displaystyle \Delta \) trên (P) nên M1 thuộc d.

Vì \(\displaystyle MA \bot {\rm{AA}}' => {M_1}A \bot AA'\)

Mặt khác \(\displaystyle {M_1}A \bot M'A'\) nên ta suy ra \(\displaystyle {M_1}A \bot ({\rm{AA}}'M')\). Do đó \(\displaystyle {M_1}A \bot M'A\)   và điểm A thuộc mặt cầu đường kính M’M1.

Ta có   \(\displaystyle M'A' \bot (P)\) nên \(\displaystyle M'A' \bot A'{M_1}\), ta suy ra điểm A’ cũng thuộc mặt cầu đường kính  M’M1

Ta có  (Q) // (P) nên ta suy ra   \(\displaystyle M{M_1} \bot (Q)\) mà MM’ thuộc (Q), do đó \(\displaystyle {M_1}M \bot MM'\)

Như vậy 5 điểm A, A’ , M, M’, M1 cùng thuộc mặt cầu (S) có đường kính M’M1. Tâm O của mặt cầu (S) là trung điểm của đoạn M’M1.

Ta có \(\displaystyle M'{M_1}^2 = M'A{'^2} + A'{M_1}^2 \) \(\displaystyle = M'A{'^2} + A'{A^2} + A{M_1}^2 \) \(\displaystyle = {x^2} + {a^2} + {x^2}{\cot ^2}\alpha \) vì MM1 = x và \(\displaystyle \cot \alpha  = {{A{M_1}} \over {{M_1}M}} = {{A{M_1}} \over x}\)

Bán kính r của mặt cầu (S) bằng \(\displaystyle {{M'{M_1}} \over 2}\)  nên \(\displaystyle r = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {x^2}(1 + {{\cot }^2}\alpha )} \)

b) Hình tứ giác A’M’MM1 là hình chữ nhật nên tâm O cũng là trung điểm của A’M.

Do đó khi x thay đổi thì mặt phẳng (Q) thay đổi và điểm O luôn luôn thuộc đường thẳng d’ đi qua trung điểm I của đoạn AA’ và song song với đường thẳng \(\displaystyle \Delta \).

Vì mặt cầu tâm O luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, A’nên nó có tâm O di động trên đường thẳng d’.

Do đó mặt cầu tâm O luôn luôn chứa đường tròn tâm I cố định có đường kính AA’ cố định và nằm trong mặt phẳng cố định vuông góc với đường thẳng d’.

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 2.29 trang 63 SBT hình học 12

    Giải bài 2.29 trang 63 sách bài tập hình học 12. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.

  • Bài 2.30 trang 63 SBT hình học 12

    Giải bài 2.30 trang 63 sách bài tập hình học 12. Cho đường tròn tâm O bán kính r’. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

  • Bài 2.31 trang 63 SBT hình học 12

    Giải bài 2.31 trang 63 sách bài tập hình học 12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a...

  • Bài 2.32 trang 63 SBT hình học 12

    Giải bài 2.32 trang 63 sách bài tập hình học 12. Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO’.

  • Bài 2.27 trang 62 SBT hình học 12

    Giải bài 2.27 trang 62 sách bài tập hình học 12. Trong mặt phẳng a, cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M.

  • Bài 2.26 trang 62 SBT hình học 12

    Giải bài 2.26 trang 62 sách bài tập hình học 12. Cho hình chóp S.ABC và biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh bên của hình chóp đồng thời tiếp xúc với ba cạnh của đáy tại trung điểm của mỗi cạnh đáy. Chứng minh hình chóp đó là hình chóp đều.

  • Bài 2.25 trang 62 SBT hình học 12

    Giải bài 2.25 trang 62 sách bài tập hình học 12. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đường cao h...

  • Bài 2.24 trang 62 SBT hình học 12

    Giải bài 2.24 trang 62 sách bài tập hình học 12. Cho tứ diện ABCD có và. Khi quay tất cả các cạnh của tứ diện đó quanh cạnh AB có những hình nón nào được tạo thành? Hãy kể tên các hình nón đó.

  • Câu hỏi và bài tập chương 2 SGK hình học 12

    Trả lời câu hỏi và bài tập chương 2 sách giáo khoa hình học 12 mặt nón mặt trụ mặt cầu. Thế nào là một mặt tròn xoay,...

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài