Bài 2.27 trang 62 SBT hình học 12


Đề bài

Trong mặt phẳng \((\alpha )\) , cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC = a và có cạnh huyền BC = 2a. Cũng trong mặt phẳng \((\alpha )\)  đó cho nửa đường tròn đường kính AB cắt cạnh BC tại M.

a) Chứng minh rằng khi quay mặt phẳng \((\alpha )\) xung quanh trục AB có một mặt nón tròn xoay và một mặt cầu được tạo thành. Hãy xác định các mặt tròn xoay đó.

b) Chứng minh rằng giao tuyến của hai mặt tròn xoay đó là một đường tròn. Hãy xác định bán kính của đường tròn đó.

c) So sánh diện tích toàn phần của hình nón và diện tích của mặt cầu nói trên.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a) Tam giác vuông khi quay cạnh huyền quanh một cạnh góc vuông sẽ tạo thành một mặt nón.

Nửa đường tròn khi quay quanh đường kính sẽ tạo thành một mặt cầu.

b) Xác định giao điểm của cạnh BC với nửa đường tròn, từ đó suy ra giao tuyến và tính bán kính của đường tròn giao tuyến đó.

c) Sử dụng các công thức:

- Diện tích toàn phần hình nón: \({S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = \pi rl + \pi {r^2}\).

- Diện tích mặt cầu \(S = 4\pi {R^2}\).

Lời giải chi tiết

a) Tam giác vuông ABC có BC = 2a và AC = a nên ta suy ra \(\displaystyle \widehat {ABC} = {30^0}\).

Khi quay xung quanh trục AB cạnh BC tạo nên mặt nón tròn  xoay có góc ở đỉnh bằng 600 và có đường tròn đáy có bán kính AC = a.

Khi xoay xung quanh trục AB nửa đường tròn đường kính AB tạo nên mặt cầu có tâm là trung điểm I của đoạn AB và bán kính \(\displaystyle r = {{AB} \over 2}\).

b) Khi quay xung quanh trục AB, giao điểm M của nửa đường tròn đường kính AB và cạnh CD sẽ tạo nên giao tuyến của mặt nón và mặt cầu.

Vẽ \(\displaystyle MH \bot AB\).

Ta có: \(\displaystyle {{MH} \over {MB}} = {{CA} \over {CB}} = {a \over {2a}} = {1 \over 2}\)

Mặt khác ta có CA2 = CM. CB nên ta có \(\displaystyle CM = {{{a^2}} \over {2a}} = {a \over 2}\)

Do đó \(\displaystyle BM = CB - CM = 2a - {a \over 2} = {3 \over 2}a\) và \(\displaystyle MH = {3 \over 4}a\)

c) Gọi S1 là diện tích toàn phần của hình nón và S2 là diện tích mặt cầu.

Ta có: \(\displaystyle {S_1} = \pi rl + \pi {r^2} = 2\pi {a^2} + \pi {a^2} = 3\pi {a^2}\)

\(\displaystyle {S_2} = 4\pi {r^2} = 4\pi {(IA)^2}\) \(\displaystyle = 4\pi {({{a\sqrt 3 } \over 2})^2} = 3\pi {a^2}\)

Vậy S1 = S2

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 2.28 trang 62 SBT hình học 12

    Giải bài 2.28 trang 62 sách bài tập hình học 12. Mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) cắt ∆ và ∆' lần lượt tại M và M’. Gọi M1 là hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng (P).

  • Bài 2.29 trang 63 SBT hình học 12

    Giải bài 2.29 trang 63 sách bài tập hình học 12. Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền AB = 2a. Trên đường thẳng d đi qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC), lấy một điểm S khác A, ta được tứ diện SABC.

  • Bài 2.30 trang 63 SBT hình học 12

    Giải bài 2.30 trang 63 sách bài tập hình học 12. Cho đường tròn tâm O bán kính r’. Xét hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, S và A cố định, SA = h cho trước và có đáy ABCD là một tứ giác tùy ý nội tiếp đường tròn đã cho, trong đó các đường chéo AC và BD vuông góc với nhau.

  • Bài 2.31 trang 63 SBT hình học 12

    Giải bài 2.31 trang 63 sách bài tập hình học 12. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a...

  • Bài 2.32 trang 63 SBT hình học 12

    Giải bài 2.32 trang 63 sách bài tập hình học 12. Hình trụ tròn xoay có bán kính đáy bằng r, có chiều cao bằng 2r và có trục là OO’.

  • Bài 2.26 trang 62 SBT hình học 12

    Giải bài 2.26 trang 62 sách bài tập hình học 12. Cho hình chóp S.ABC và biết rằng có một mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh bên của hình chóp đồng thời tiếp xúc với ba cạnh của đáy tại trung điểm của mỗi cạnh đáy. Chứng minh hình chóp đó là hình chóp đều.

  • Bài 2.25 trang 62 SBT hình học 12

    Giải bài 2.25 trang 62 sách bài tập hình học 12. Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và có đường cao h...

  • Bài 2.24 trang 62 SBT hình học 12

    Giải bài 2.24 trang 62 sách bài tập hình học 12. Cho tứ diện ABCD có và. Khi quay tất cả các cạnh của tứ diện đó quanh cạnh AB có những hình nón nào được tạo thành? Hãy kể tên các hình nón đó.

  • Câu hỏi và bài tập chương 2 SGK hình học 12

    Trả lời câu hỏi và bài tập chương 2 sách giáo khoa hình học 12 mặt nón mặt trụ mặt cầu. Thế nào là một mặt tròn xoay,...

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.