Bài 2.21 trang 61 SBT hình học 12


Giải bài 2.21 trang 61 sách bài tập hình học 12. Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE

Đề bài

Hình chóp S.ABCD có SA = a là chiều cao của hình chóp và đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B có AB = BC = a và AD = 2a. Gọi E là trung điểm của cạnh AD. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp (giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE và mặt phẳng trung trực của SE)

- Tính toán dựa trên các kiến thức hình học đã biết.

Lời giải chi tiết

Tam giác CED là tam giác vuông cân tại E nên trục của đường tròn đi qua ba điểm C, E, D là đường thẳng \(\displaystyle \Delta \) đi qua trung điểm I của đoạn thẳng CD và song song với SA.

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SE và SC. Ta có mặt phẳng (ABNM) là mặt phẳng trung trực của đoạn SE.

Vậy tâm O của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE chính là giao điểm của \(\displaystyle \Delta \) và mp(ABNM).

Gọi K là trung điểm của AB thì KN // AM và do đó KN //(SAE). Ta có IK // AD nên IK // (SAE).

Vậy KN và \(\displaystyle \Delta \) đồng phẳng và ta có O là giao điểm cần tìm.

Chú ý rằng OIK là tam giác vuông cân, vì \(\displaystyle \widehat {OKI} = \widehat {MAE} = {45^0}\)

Ta có  OI = IK, trong đó \(\displaystyle IK = {{BC + AD} \over 2} = {{a + 2a} \over 2} = {{3a} \over 2}\)

Vậy  \(\displaystyle O{C^2} = O{I^2} + I{C^2} = {{9{a^2}} \over 4} + {{2{a^2}} \over 4}\) (vì \(\displaystyle CD = a\sqrt 2 ;IC = {{CD} \over 2}\)).

Do đó, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE là: \(\displaystyle r = OC = {{a\sqrt {11} } \over 2}\).

Loigiaihay.com


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
  • Bài 2.22 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.22 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho hình cầu tâm O bán kính r. Lấy một điểm A trên mặt cầu và gọi là mặt phẳng đi qua A sao cho góc giữa OA và bằng 30^0.

  • Bài 2.23 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.23 trang 61 sách bài tập hình học 12. Cho hình cầu đường kính AA’ = 2r. Gọi H là một điểm trên đoạn AA’ sao cho. Mặt phẳng qua H và vuông góc với AA’ cắt hình cầu theo đường tròn (C).

  • Bài 2.20 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.20 trang 61 sách bài tập hình học 12. Hình tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a và có đường cao AH. Gọi O là trung điểm của AH. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD.

  • Bài 2.19 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.19 trang 61 sách bài tập hình học 12. Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì hình tứ diện đó có tổng các cặp cạnh đối diện bằng nhau.

  • Bài 2.18 trang 61 SBT hình học 12

    Giải bài 2.18 trang 61 SBT hình học 12. Hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều , có cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng. Một mặt cầu đi qua đỉnh A và tiếp xúc với hai cạnh SB , SC tại trung điểm của mỗi cạnh.

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí