Bài 1.34 trang 20 SBT hình học 12


Giải bài 1.34 trang 20 sách bài tập hình học 12. Cho tứ diện ABCD. Gọi hA, hB, hC, hD...

Đề bài

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \({h_A},{h_B},{h_C},{h_D}\;\) lần lượt là các đường cao của tứ diện xuất phát từ A, B, C, D và r là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng: \(\dfrac{1}{{{h_A}}} + \dfrac{1}{{{h_B}}} + \dfrac{1}{{{h_C}}} + \dfrac{1}{{{h_D}}} = \dfrac{1}{r}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Chia khối tứ diện thành bốn khối tứ diện nhỏ có đỉnh là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện và đáy là các mặt của tứ diện.

- Tính tỉ số thể tích mỗi khối tứ diện so với thể tích khối tứ diện \(ABCD\) và cộng vế với vế suy ra điều phải chứng minh.

Lời giải chi tiết

Gọi \(I\) là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện, \(V\)là thể tích tứ diện.

Ta có \({V_{I.BCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{BCD}}.r\); \({V_{I.CDA}} = \dfrac{1}{3}{S_{CDA}}.r\); \({V_{I.DAB}} = \dfrac{1}{3}{S_{DAB}}.r\); \({V_{I.ABC}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.r\)

\(V = {V_{IBCD}} + {V_{ICDA}} + {V_{IDAB}} + {V_{IABC}}\)

\( \Rightarrow \frac{V}{V} = \frac{{{V_{IBCD}} + {V_{ICDA}} + {V_{IDAB}} + {V_{IABC}}}}{V}\)

\( \Rightarrow 1 = \dfrac{{{V_{IBCD}}}}{V} + \dfrac{{{V_{ICDA}}}}{V} + \dfrac{{{V_{IDAB}}}}{V} + \dfrac{{{V_{IABC}}}}{V}\)

\( = \dfrac{{\dfrac{1}{3}r{S_{BCD}}}}{{\dfrac{1}{3}{h_A}{S_{BCD}}}} + \dfrac{{\dfrac{1}{3}r{S_{CDA}}}}{{\dfrac{1}{3}{h_B}{S_{CDA}}}}\) \( + \dfrac{{\dfrac{1}{3}r{S_{DAB}}}}{{\dfrac{1}{3}{h_C}{S_{DAB}}}} + \dfrac{{\dfrac{1}{3}r{S_{ABC}}}}{{\dfrac{1}{3}{h_D}{S_{ABC}}}}\)

\( = r\left( {\dfrac{1}{{{h_A}}} + \dfrac{1}{{{h_B}}} + \dfrac{1}{{{h_C}}} + \dfrac{1}{{{h_D}}}} \right)\)

\( \Rightarrow 1 = r\left( {\frac{1}{{{h_A}}} + \frac{1}{{{h_B}}} + \frac{1}{{{h_C}}} + \frac{1}{{{h_D}}}} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{{{h_A}}} + \dfrac{1}{{{h_B}}} + \dfrac{1}{{{h_C}}} + \dfrac{1}{{{h_D}}}\) (đpcm).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài