Bài 1.33 trang 20 SBT hình học 12


Giải bài 1.33 trang 20 sách bài tập hình học 12. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi (H) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện đều đó. Tính tỉ số...

Đề bài

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \((H)\) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện đều đó. Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{ABCD}}}}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Tính thể tích khối tứ diện đều.

- Tính thể tích khối bát diện đều.

- Từ đó suy ra tỉ số.

Lời giải chi tiết

Gọi cạnh của tứ diện đều là \(a\) thì cạnh của hình bát diện đều \(\left( H \right)\) là \(\dfrac{a}{2}\).

+) Tính thể tích tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\).

Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\) và \(F\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).

Khi đó \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) và \(DF = \sqrt {D{A^2} - A{F^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.DF\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).

+) Tính thể tích khối bát diện đều cạnh \(\dfrac{a}{2}\).

Xét bát diện đều \(SABCDS'\) có cạnh \(\dfrac{a}{2}\).

Thể tích khối bát diện đều \({V_{\left( H \right)}} = 2{V_{S.ABCD}}\)

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SO \bot OA\) \( \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại \(O\)

\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\)\( = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}.{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}\)

\( \Rightarrow {V_{\left( H \right)}} = 2.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)

Vậy \(\dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}\).

Loigiaihay.com

Sub đăng ký kênh giúp Ad nhé !


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài