Câu 5.34 trang 184 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

LG a

\(y = {\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^3};\left( {1 + {x^2}} \right)y'' + xy' - 9y = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& y' = 3{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2}.\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right] \cr 
& y'' = 6\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right] \cr&+ 6\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right).\left[ {1 + {x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right].{x \over {\sqrt {{x^2} + 1} }} \cr&+ 3{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2}.{1 \over {\left( {{x^2} + 1} \right).\sqrt {{x^2} + 1} }} \cr} \)

Do đó: \(\left( {1 + {x^2}} \right)y'' + xy' - 9y = 0\)

Quảng cáo

LG b

\(y = 2\sin 2x;{y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}y\)

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{& y' = 2\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,y'' =  - {2^2}\sin 2x  \cr& y''' =  - {2^3}\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 4 \right)}} = {2^4}\sin 2x  \cr& {y^{\left( 5 \right)}} = {2^5}\cos 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 6 \right)}} =  - {2^6}\sin 2x  \cr& {y^{\left( 7 \right)}} =  - {2^7}\sin 2x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{y^{\left( 8 \right)}} = {2^8}\sin 2x  \cr& ... \cr} \)

Bằng phương pháp quy nạp, dễ dàng chứng minh được

                        \({y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}\sin 2x = {\left( { - 1} \right)^n}{2^{2n}}y\)

Loigiaihay.com