Câu 4.97 trang 118 SBT Đại số 10 Nâng cao>
Giải bài tập Câu 4.97 trang 118 SBT Đại số 10 Nâng cao
Đề bài
Tùy theo giá trị của tham số m, hãy biện luận số nghiệm phương trình
\(\left( {m + 3} \right){x^4} - \left( {2m - 1} \right){x^2} - 3 = 0\)
Lời giải chi tiết
Đặt \(t = {x^2}\) phương trình trở thành \(f\left( t \right) = \left( {m + 3} \right){t^2} - \left( {2m - 1} \right)t - 3 = 0,t \ge 0.\)
● Nếu m + 3 = 0, tức là m = -3 thì \(f\left( t \right) = 7t - 3 = 0,\) từ đó \(t = \dfrac{3}{7}.\) Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm \(x = \pm \sqrt {\dfrac{3}{7}} .\)
● Nếu \(m + 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ -3.\)
Khi đó, \(\Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} + 12\left( {m + 3} \right) = 4{m^2} + 8m + 37 > 0\) với mọi m nên phương trình f(t) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt khác 0 (vì \(c = -3 ≠ 0\)).
+) Phương trình \(f(t) = 0\) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi :
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = \dfrac{{2m - 1}}{{m + 3}} > 0}\\{P = \dfrac{{ - 3}}{{m + 3}} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - 1 < 0}\\{m + 3 < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m < - 3.\)
Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt.
+) Phương trình \(f(t) = 0\) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{S = \dfrac{{2m - 1}}{{m + 3}} < 0}\\{P = \dfrac{{ - 3}}{{m + 3}} > 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - 1 > 0}\\{m + 3 < 0}\end{array}} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > \dfrac{1}{2}}\\{m < - 3}\end{array}} \right.\) (không tồn tại m).
+) Phương trình \(f(t) = 0\) có một nghiệm âm và một nghiệm dương khi và chỉ khi
\(ac = (-3)(m + 3) < 0 ⇔ m > -3.\)
Khi đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Tóm lại : Với \(m ≥ -3\) phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Với \(m < -3\) phương trình có bốn nghiệm phân biệt.
Loigiaihay.com
- Câu 4.98 trang 118 SBT Đại số 10 Nâng cao
- Câu 4.99 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao
- Câu 4.100 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao
- Câu 4.101 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao
- Câu 102 trang 119 SBT Đại số 10 Nâng cao
>> Xem thêm