Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao Bài tập Ôn tập chương IV - Bất đẳng thức và bất phương ..

Câu 4.87 trang 117 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 4.87 trang 117 SBT Đại số 10 Nâng cao

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Chứng minh rằng nếu các số a, b, c đều dương thì :

 

LG a

\(\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9abc\)

 

Lời giải chi tiết:

 Do \(a, b, c > 0\) nên \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\) và \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 3\sqrt[3]{{{a^2}{b^2}{c^2}}}.\)

Suy ra \(\left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 9\sqrt[3]{{{a^3}{b^3}{c^3}}} = 9abc.\)

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c.\)

 

LG b

\(\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge a + b + c\)

 

Lời giải chi tiết:

áp dụng bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân, ta có

\(\dfrac{{ab}}{c} + \dfrac{{bc}}{a} \ge 2b;\) \(\dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge 2a;\) \(\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} \ge 2c,\) nên

\(\dfrac{{bc}}{a} + \dfrac{{ac}}{b} + \dfrac{{ab}}{c} \ge a + b + c.\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c.

 

LG c

\(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}\)\( \ge \dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}}\)

 

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} \ge a;\) \(\dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{a + c}}{4} \ge b;\) \(\dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge c.\)

Do đó \(\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}.\)

Mặt khác từ bất đẳng thức \({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy\) và \(x, y > 0\) ta suy ra :

\(\dfrac{{2ab}}{{a + b}} \le \dfrac{{a + b}}{2};\) \(\dfrac{{2bc}}{{b + c}} \le \dfrac{{b + c}}{2};\) \(\dfrac{{2ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{c + a}}{2}.\)

Cộng từng vế các bất đẳng thức và chia hai vế cho 2 ta được

\(\dfrac{{ab}}{{a + b}} + \dfrac{{bc}}{{b + c}} + \dfrac{{ca}}{{c + a}} \le \dfrac{{a + b + c}}{2}.\)

Đẳng thức xảy ra khi \(a = b = c.\)

Loigiaihay.com

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store