Giải SBT toán hình học và đại số 10 nâng cao BÀI TẬP ÔN TẬP CUỐI NĂM - ĐẠI SỐ 10 NÂNG CAO

Câu 20 trang 241 SBT Đại số 10 Nâng cao


Giải bài tập Câu 20 trang 241 SBT Đại số 10 Nâng cao

Đề bài

a) Chứng minh rằng với mọi số thực \(a,b,c,x,y,z\left( {xyz \ne 0} \right)\), luôn có

\({\left( {ax + by + cz} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right).\) 

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}\).

b) Áp dụng. Cho \({x^2} + 2{y^2} + 3{z^2} = 6\). Chứng minh rằng \(\left| {x + 2y + 3z} \right| \le 6.\)

 

Lời giải chi tiết

a) Cách 1. Từ đẳng thức

\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)\\ = {\left( {ax + by + cz} \right)^2} + {\left( {ay - bx} \right)^2} + {\left( {bz - cy} \right)^2} + {\left( {az - cx} \right)^2}\end{array}\)

dễ dàng suy ra

\(\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) \ge {\left( {ax + by + cz} \right)^2}\).

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}ay = bx\\bz = cy\\az = cx\end{array} \right.\) tức là \(\dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y} = \dfrac{c}{z}.\)

Cách 2.

\(\begin{array}{l}{\left( {ax + by + cz} \right)^2} = {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + 2abxy + 2acxz + 2bcyz\\ \le {a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + {a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} + {a^2}{z^2} + {c^2}{x^2} + {b^2}{z^2} + {c^2}{y^2}\\ = \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right).\end{array}\)

b)

\(\begin{array}{l}{\left( {x + 2y + 3z} \right)^2}\\ = {\left( {1.x + \sqrt 2 .\sqrt {2y}  + \sqrt 3 .\sqrt {3z} } \right)^2}\\ \le \left( {{x^2} + 2{y^2} + 3{z^2}} \right)\left( {1 + 2 + 3} \right)\\ = 6.6 = 36.\end{array}\)  

Vì vậy \(\left| {x + 2y + 3z} \right| \le 6\)

Loigiaihay.com

 

Bình chọn:
4.9 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 10 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store