Bài 7 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2 ; 0), B(3 ; -3 ; 1), C(5 ; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD với A(-3 ; -2 ; 0), B(3 ; -3 ; 1), C(5 ; 0 ; 2). Tìm toạ độ đỉnh D và tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BD} \).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

ABCD là hình bình hành \( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {BC} \).

Cô sin góc giữa hai véc tơ \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)

Lời giải chi tiết

Ta có \(\overrightarrow {BA}  = \left( { - 6;1; - 1} \right);\overrightarrow {BC}  = \left( {2;3;1} \right)\).

Vì \({{ - 6} \over 2} \ne {1 \over 3} \ne {{ - 1} \over 1}\) nên \(\overrightarrow {BA} \) và \(\overrightarrow {BC} \) không cùng phương nên ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\). Ta có: \(\overrightarrow {AD}  = \left( {x + 3;y + 2;z} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( {2;3;1} \right)\)

ABCD là hình bình hành 

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 3 = 2\\
y + 2 = 3\\
z = 1
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1\\
y = 1\\
z = 1
\end{array} \right.\)

Vậy \(D\left( { - 1;1;1} \right)\) .

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \left( {8;2;2} \right)\,;\) \(\overrightarrow {BD}  = \left( { - 4;4;0} \right)\)

Do đó:

\(\cos \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = {{\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {BD} } \over {AC.BD}} \) \(= {{ - 32 + 8} \over {\sqrt {72} .\sqrt {32} }} =  - {1 \over 2} \) \(\Rightarrow \left( {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {BD} } \right) = 120^0\).

Chú ý:

Có thể tìm D theo cách khác như sau: 

Giả sử \(D\left( {x;y;z} \right)\) thì \(\overrightarrow {BD}  = \left( {x - 3;y + 3;z - 1} \right)\)
ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi:

\(\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x - 3 = - 6 + 2 \hfill \cr 
y + 3 = 1 + 3 \hfill \cr 
z - 1 = - 1 + 1 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 1 \hfill \cr 
y = 1 \hfill \cr 
z = 1 \hfill \cr} \right.\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.2 trên 5 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài