Bài 2 trang 80 SGK Hình học 12 Nâng cao


Đề bài

Cho vectơ \(\overrightarrow u \) tùy ý khác \(\overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) \) \(+ {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = 1\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai véc tơ \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)

Lời giải chi tiết

Giả sử \(\overrightarrow u  = \left( {x;y;z} \right)\) ta có:
\(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{\overrightarrow u .\overrightarrow i } \over {\left| {\overrightarrow u } \right|\left| {\overrightarrow i } \right|}} = {x \over {\sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}} }} \) \(\Rightarrow {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) = {{{x^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\)
Tương tự: \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) = {{{y^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\) và \({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = {{{z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}}\).
Vậy

\({\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow i } \right) + {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow j } \right) \) \(+ {\cos ^2}\left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow k } \right) = {{{x^2} + {y^2} + {z^2}} \over {{x^2} + {y^2} + {z^2}}} = 1\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 4 phiếu

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.


Hỏi bài