Bài 11 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó. c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2).

LG a

Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

Phương pháp giải:

Chứng minh AB,AC,ADAB,AC,AD không đồng phẳng hay [AB,AC].AD0[AB,AC].AD0

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

AB=(1;1;0),AC=(1;0;1),AD=(3;1;2)[AB,AC]=(|1001|;|0111|;|1110|)=(1;1;1)[AB,AC].AD=1.(3)+1.1+1.(2)=40

Do đó ba vectơ AB,AC,AD không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

LG b

Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai véc tơ cos(u,v)=u.v|u|.|v|

Lời giải chi tiết:

Ta có CD=(2;1;3),BD=(2;0;2), BC=(0;1;1).

Gọi α,β,γ lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì

cosα=|cos(AB,CD)|=|2+1+0|2.14=3714cosβ=|cos(AC,BD)|=|2+02|2.8=0ACBDcosγ=|cos(AD,BC)|=|012|2.14=3714

LG c

Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.

Phương pháp giải:

Tính thể tích theo công thức V=16|[AB,AC].AD|

Lời giải chi tiết:

Thể tích tứ diện ABCD là: V=16|[AB,AC].AD| =16|4|=23

Gọi hA là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Ta có:

V=13hA.SBCDhA=3VSBCDSBCD=12|[BC,BD]|=3

Vậy hA=3.233=233

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.