Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 1. Số phức

Bài 14 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

LG a

Cho số phức \(z=x+yi\). Khi \(z \ne i\), hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \({{z + i} \over {z - i}}\)

Phương pháp giải:

Thực hiện chia hai số phức \(\dfrac{{a + bi}}{{c + di}} = \dfrac{{\left( {a + bi} \right)\left( {c - di} \right)}}{c^2+d^2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\displaystyle {{z + i} \over {z - i}} = {{x + \left( {y + 1} \right)i} \over {x + \left( {y - 1} \right)i}} \) \(\displaystyle = {{\left[ {x + \left( {y + 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} \) \(\displaystyle  = \frac{{{x^2} + \left( {xy + x} \right)i - \left( {xy - x} \right)i - \left( {{y^2} - 1} \right){i^2}}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\) \(\displaystyle  = \frac{{{x^2} + 2xi + \left( {{y^2} - 1} \right)}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\) \(\displaystyle = {{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + {{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\)

Vậy phần thực là \(\displaystyle {{{x^2} + {y^2} - 1} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\), phần ảo là \(\displaystyle {{2x} \over {{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\).

LG b

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \({{z + i} \over {z - i}}\) là số thực dương. 

Phương pháp giải:

Số phức z=a+bi là số thực dương nếu b=0 và a>0.

Lời giải chi tiết:

Với \(z \ne i\), 

Theo câu a, \(\dfrac{{z + i}}{{z - i}} \) \( = \dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{{2x}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i\)

Nên để \(\dfrac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương thì \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = 0\\\dfrac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} > 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ne 0\\{x^2} + {y^2} - 1 > 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\{\left( {y - 1} \right)^2} \ne 0\\{y^2} - 1 > 0\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y \ne 1\\\left[ \begin{array}{l}y > 1\\y <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,y > 1\\x = 0,y <  - 1\end{array} \right.\)

Vậy quỹ tích điểm cần tìm là trục ảo bỏ đi đoạn thẳng IJ, trong đó I(0; 1); J(0; -1).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 5 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua