Bài 12 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn từng điều kiện sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn từng điều kiện sau:

LG a

\(z^2\) là số thực âm;

Phương pháp giải:

Giả sử \(z=x+yi\), thay vào điều kiện bài cho tìm mối liên hệ x,y.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(z=x+yi\)

\({z^2} = {\left( {x + yi} \right)^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)

\(z^2\) là số thực âm

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
xy = 0\\
{x^2} - {y^2} < 0
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right.\\
{x^2} < {y^2}
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
0 < {y^2}
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
y = 0\\
{x^2} < 0\left( {VN} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right. \) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y \ne 0
\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục \(Oy\) trừ điểm \(O\).

LG b

\(z^2\) là là số ảo;

Lời giải chi tiết:

\({z^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)

\(z^2\) là số ảo \( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\) hoặc \(y = -x\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hai đường phân giác của các gốc tọa độ.

LG c

\({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2}\);

Lời giải chi tiết:

\(z = x + yi \Rightarrow \overline z  = x - yi\)

Ta có \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \) \(\Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi ={x^2} - {y^2} - 2xyi\) \(\Leftrightarrow xy = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{  x = 0 \hfill \cr  y = 0 \hfill \cr}  \right.\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là các trục tọa độ.

LG d

\({1 \over {z - i}}\) là số ảo.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{1}{{z - i}} = \dfrac{1}{{x + yi - i}} = \dfrac{1}{{x + \left( {y - 1} \right)i}}\\
= \dfrac{{x - \left( {y - 1} \right)i}}{{\left[ {x + \left( {y - 1} \right)i} \right]\left[ {x - \left( {y - 1} \right)i} \right]}}\\
= \dfrac{{x - \left( {y - 1} \right)i}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}\\
= \dfrac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} - \dfrac{{y - 1}}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}}i
\end{array}\)

\(\dfrac{1}{{z - i}}\) là số ảo nếu:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{x}{{{x^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}}} = 0\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \ne 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
{\left( {y - 1} \right)^2} \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y \ne 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy tập hợp các điểm cầm tìm là trục ảo trừ điểm \(I(0; 1)\) biểu diễn số \(i\).

Cách khác:

\({1 \over {z - i}}\) là số ảo \( \Leftrightarrow z - i\) là số ảo và \(z \ne i \Leftrightarrow z\) là số ảo khác i.

Vậy tập hợp các điểm cầm tìm là trục ảo trừ điểm \(I(0; 1)\) biểu diễn số \(i\).

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 2 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1. Số phức

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài