Bài 11 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

Đề bài

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

\({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\);               \({{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}\);                     \({{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất:

+) Số phức z là số thực khi và chỉ khi \(\overline z=z \)

+) "Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \( \overline z=-z\)

Lời giải chi tiết

* Ta có:

\(\overline {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}}  \\= \overline {{z^2}}  + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^2}}  \\= {\left( {\overline z } \right)^2} + {\left( {\overline {\overline z } } \right)^2} \\= {\left( {\overline z } \right)^2} + {z^2}\)

\( \Rightarrow {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\)  là số thực.

Cách khác: Gọi \(z=a+bi\)

Ta có: \({z^2} + {\overline z ^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} \) \( = {a^2} + 2abi - {b^2} + {a^2} - 2abi - {b^2} \) \(= 2{a^2} - 2{b^2}\)

\(= 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\) là số thực

* \(\overline {\left( {{{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}} \right)}  \) \( = \frac{{\overline {z - \overline z } }}{{\overline {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}} }} \) \( = \frac{{\overline z  - \overline {\overline z } }}{{\overline {{z^3}}  + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^3}} }}  \) \(= \frac{{\overline z  - z}}{{{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {{\left( {\overline {\overline z } } \right)}^3}}}  \) \(=  - \frac{{z - \overline z }}{{{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {z^3}}}\)

\(\Rightarrow {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) là số ảo.

*  \(\overline {\left( {{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}} \right)}   \) \(= {{{({\overline z })^2} - {z^2}} \over {1 + \overline z z}}  \) \(=  - {{{z^2}-{({\overline z })^2}} \over {1 + \overline z .z}}  \)

\(\Rightarrow {{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\) là số ảo.

Cách khác:

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 7 phiếu

Các bài liên quan: - Bài 1. Số phức

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài