Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 1. Số phức

Bài 11 trang 191 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao


Đề bài

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

\({z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\);               \({{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}\);                     \({{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng tính chất:

+) Số phức z là số thực khi và chỉ khi \(\overline z=z \)

+) "Số phức z là số ảo khi và chỉ khi \( \overline z=-z\)

Lời giải chi tiết

* Ta có:

\(\overline {{z^2} + {{\left( {\overline z } \right)}^2}}  \\= \overline {{z^2}}  + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^2}}  \\= {\left( {\overline z } \right)^2} + {\left( {\overline {\overline z } } \right)^2} \\= {\left( {\overline z } \right)^2} + {z^2}\)

\( \Rightarrow {z^2} + {\left( {\overline z } \right)^2}\)  là số thực.

Cách khác: Gọi \(z=a+bi\)

Ta có: \({z^2} + {\overline z ^2} = {\left( {a + bi} \right)^2} + {\left( {a - bi} \right)^2} \) \( = {a^2} + 2abi - {b^2} + {a^2} - 2abi - {b^2} \) \(= 2{a^2} - 2{b^2}\)

\(= 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right)\) là số thực

* \(\overline {\left( {{{z - \overline z } \over {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}}}} \right)}  \) \( = \frac{{\overline {z - \overline z } }}{{\overline {{z^3} + {{\left( {\overline z } \right)}^3}} }} \) \( = \frac{{\overline z  - \overline {\overline z } }}{{\overline {{z^3}}  + \overline {{{\left( {\overline z } \right)}^3}} }}  \) \(= \frac{{\overline z  - z}}{{{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {{\left( {\overline {\overline z } } \right)}^3}}}  \) \(=  - \frac{{z - \overline z }}{{{{\left( {\overline z } \right)}^3} + {z^3}}}\)

\(\Rightarrow {{z - \overline z } \over {{z^3} + {({\overline z })^3}}}\) là số ảo.

*  \(\overline {\left( {{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}} \right)}   \) \(= {{{({\overline z })^2} - {z^2}} \over {1 + \overline z z}}  \) \(=  - {{{z^2}-{({\overline z })^2}} \over {1 + \overline z .z}}  \)

\(\Rightarrow {{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}} \over {1 + z\overline z }}\) là số ảo.

Cách khác:

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.4 trên 7 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua