Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Bài 1. Hệ tọa độ trong không gian

Bài 11 trang 81 SGK Hình học 12 Nâng cao


Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2). a) Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện. b) Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó. c) Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Cho bốn điểm A(1 ; 0 ; 0), B(0 ; 1 ; 0), C(0 ; 0 ; 1) và D(-2 ; 1 ; -2).

LG a

Chứng minh rằng A, B, C, D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.

Phương pháp giải:

Chứng minh \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng hay \(\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \ne 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} = \left( { - 1;1;0} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 1;0;1} \right),\cr &\overrightarrow {AD} = \left( { - 3;1; - 2} \right) \cr 
& \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] \cr &= \left( {\left| \matrix{
1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
0\,\,\,\, - 1 \hfill \cr 
1\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr 
- 1\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right) \cr &= \left( { 1;1; 1} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} \cr &= 1 .(-3)+ 1.1 +1.(-2) = - 4 \ne 0 \cr} \)

Do đó ba vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} \) không đồng phẳng. Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện.

LG b

Tính góc giữa các đường thẳng chứa các cạnh đối của tứ diện đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính cô sin góc giữa hai véc tơ \(\cos \left( {\overrightarrow u ,\overrightarrow v } \right) = \frac{{\overrightarrow u .\overrightarrow v }}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow v } \right|}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {CD}  = \left( { - 2;1; - 3} \right),\overrightarrow {BD}  = \left( { - 2;0; - 2} \right),\) \(\overrightarrow {BC}  = \left( {0; - 1;1} \right)\).

Gọi \(\alpha ,\beta ,\gamma \) lần lượt là góc tạo bởi các cặp đường thẳng AB và CD, AC và BD, AD và BC thì

\(\eqalign{
& \cos \alpha = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} } \right)} \right| \cr &= {{\left| {2 + 1 + 0} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = {{3\sqrt 7 } \over {14}} \cr 
& \cos \beta = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BD} } \right)} \right|\cr & = {{\left| {2 + 0 - 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt 8 }} = 0 \Rightarrow AC \bot BD \cr 
& \cos \gamma = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {BC} } \right)} \right| \cr & = {{\left| {0 - 1 - 2} \right|} \over {\sqrt 2 .\sqrt {14} }} = {{3\sqrt 7 } \over {14}} \cr} \)

LG c

Tính thể tích tứ diện ABCD và độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.

Phương pháp giải:

Tính thể tích theo công thức \(V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right|\)

Lời giải chi tiết:

Thể tích tứ diện ABCD là: \(V = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} } \right| \) \(= {1 \over 6}\left| { - 4} \right| = {2 \over 3}\)

Gọi \({h_A}\) là đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A.
Ta có:

\(\eqalign{
& V = {1 \over 3}{h_A}.{S_{BCD}} \Rightarrow {h_A} = {{3V} \over {{S_{BCD}}}} \cr 
& {S_{BCD}} = {1 \over 2}\left| {\left[ {\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} } \right]} \right| = \sqrt 3 \cr} \)

Vậy \({h_A} = {{3.{2 \over 3}} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3}\)

Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.8 trên 4 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store