Giải SGK, SBT, VTH Toán 9 Bài tập cuối chương 5 Kết nối tri thức

Cho đường tròn (O; 4 cm) và hai điểm A, B. Biết rằng OA = \(\sqrt {15} \)cm và OB = 4 cm. Khi đó:

A. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm ngoài (O).

B. Điểm A nằm ngoài (O), điểm B nằm trên (O).

C. Điểm A nằm trên (O), điểm B nằm trong (O).

D. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).

Cho hình 5.43, trong đó BD là đường kính, \(\widehat {{\rm{AOB}}} = 40^\circ ;\widehat {\,{\rm{BOC}}} = 100^\circ \). Khi đó:

A. sđ \(\overset\frown{\text{DC}}=80{}^\circ \) và sđ \(\overset\frown{\text{AD}}=220{}^\circ \)

B. sđ \(\overset\frown{\text{DC}}=280{}^\circ \) và sđ \(\overset\frown{\text{AD}}=220{}^\circ \)

C. sđ \(\overset\frown{\text{DC}}=280{}^\circ \) và sđ \(\overset\frown{\text{AD}}=140{}^\circ \)

D. sđ \(\overset\frown{\text{DC}}=80{}^\circ \) và sđ \(\overset\frown{\text{AD}}=140{}^\circ \)

Cho hai đường tròn \(\left( {{\rm{A;}}\,{{\rm{R}}_{\rm{1}}}} \right){\rm{, }}\left( {{\rm{B;}}\,{{\rm{R}}_{\rm{2}}}} \right){\rm{,}}\) trong đó \({{\rm{R}}_{\rm{2}}} < \,{{\rm{R}}_{\rm{1}}}.\) Biết rằng hai đường tròn (A) và (B) cắt nhau (H.5.44).

Khi đó:

A. \({\rm{AB}} < {{\rm{R}}_1} - \,{{\rm{R}}_{\rm{2}}}.\)

B. \({{\rm{R}}_1} - \,{{\rm{R}}_{\rm{2}}} < {\rm{AB}} < {{\rm{R}}_1} + \,{{\rm{R}}_{\rm{2}}}.\)

C. \({\rm{AB}} > {{\rm{R}}_1} + \,{{\rm{R}}_{\rm{2}}}.\)

D. \({\rm{AB}} = {{\rm{R}}_1} + \,{{\rm{R}}_{\rm{2}}}.\)

Cho đường tròn (O; R) và hai đường thẳng \({{\rm{a}}_1}\)và \({{\rm{a}}_2}.\) Gọi \({{\rm{d}}_1},{{\rm{d}}_2}\) lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến \({{\rm{a}}_1}\)và \({{\rm{a}}_2}.\) Biết rằng (O) cắt \({{\rm{a}}_1}\) và tiếp xúc với \({{\rm{a}}_2}\) (H.5.45).

Khi đó:

A. \({{\rm{d}}_1} < {\rm{R}}\)và \({{\rm{d}}_2} = {\rm{R}}\)

B. \({{\rm{d}}_1} = {\rm{R}}\)và \({{\rm{d}}_2} < {\rm{R}}\)

C. \({{\rm{d}}_1} > {\rm{R}}\)và \({{\rm{d}}_2} = {\rm{R}}\)

D. \({{\rm{d}}_1} < {\rm{R}}\)và \({{\rm{d}}_2} < {\rm{R}}\)

Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A (khác B và C).

a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì nằm trên (O).

b) Giả sử A là một trong hai giao điểm của đường tròn (B; BO) với đường tròn (O). Tính các góc của tam giác ABC.

c) Với cùng giả thiết câu b), tính độ dài cung AC và diện tích hình quạt nằm trong (O) giới hạn bởi các bán kính OA và OC, biết rằng BC = 6 cm.

Cho AB là một dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn (O; 4 cm). Gọi C và D lần lượt là các điểm đối xứng với A và B qua tâm O.

a) Hai điểm C và D có nằm trên đường tròn (O) không? Vì sao?

b) Biết rằng ABCD là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn AB và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB.

Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, sao cho AB = 2 cm và BC = 1 cm. Vẽ các đường tròn (A; 1,5 cm), (B; 3 cm) và (C; 2 cm). Hãy xác định các cặp đường tròn:

a) Cắt nhau;

b) Không giao nhau;

c) Tiếp xúc với nhau.

Cho tam giác vuông ABC (A vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A’. Chứng minh rằng:

a) BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của (C; CA).

b) CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của (B; BA). 

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F (E và F) khác A. Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF (H.5.46).

a) Chứng minh rằng tứ giác OO’KI là một hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng \({\rm{IK}} = \frac{1}{2}{\rm{EF}}\).

c) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO’KI là một hình chữ nhật?

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (O; \(\sqrt 5 \)), hai điểm \(A\left( { - \sqrt 3 ;1} \right)\) và B(-1; 2). Khi đó xảy ra:

A. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm ngoài (O).

B. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).

C. Điểm A nằm trên (O), điểm B nằm trong (O).

D. Điểm A nằm ngoài (O), điểm B nằm trên (O).

Cho đường thẳng xy cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và B (H.5.10). Khi đó, các điểm thuộc đường thẳng xy và nằm trong đường tròn (O) là:

A. Các điểm thuộc tia AB.

B. Các điểm thuộc tia By.

C. Các điểm thuộc đoạn AB.

D. Các điểm nằm giữa A và B.

Cho Hình 5.11, trong đó tất cả các cung AB, BC, CD, DE, EG và GA đều có số đo bằng \({60^o}\). Khi đó:

A. Điểm đối xứng với A qua CG là B.

B. Điểm đối xứng với A qua CG là D.

C. Điểm đối xứng với A qua CG là E.

D. Điểm đối xứng với A qua CG là G.

Độ dài L (đơn vị cm) của cung tròn và diện tích S của hình quạt tròn (đơn vị \(c{m^2}\)) có cùng bán kính 9cm và cùng ứng với cung \({280^o}\) là:

A. \(L = 7\pi \) và \(S = 63\pi \).

B. \(L = 14\pi \) và \(S = 63\pi \).

C. \(L = 7\pi \) và \(S = 28\pi \).

D. \(L = 14\pi \) và \(S = 28\pi \).

Cho góc nhọn xOy và điểm M nằm trong góc đó. Biết rằng M nằm cách Ox một khoảng bằng 3cm và cách Oy một khoảng bằng 2cm. Khi đó

A. Nếu đường tròn (M) tiếp xúc với Ox thì (M) cắt Oy.

B. Nếu đường tròn (M) tiếp xúc với Ox thì (M) cũng tiếp xúc với Oy.

C. Nếu đường tròn (M) tiếp xúc với Ox thì (M) không giao nhau với Oy.

D. Nếu đường tròn (M) tiếp xúc với Oy thì (M) cắt Ox.

Cho hai điểm A và B sao cho \(AB = 7cm\) và đường tròn (B; 4cm). Khi đó:

A. Hai đường tròn (A; R) và (B) cắt nhau nếu \(R < 11cm\).

B. Hai đường tròn (A; R) và (B) cắt nhau nếu \(R > 3cm\).

C. Hai đường tròn (A; R) và (B) không giao nhau nếu \(R > 11cm\).

D. Hai đường tròn (A; R) và (B) không giao nhau nếu \(R \le 3cm\).

Cho tam giác ABC có \(AB < AC\) và đường cao AH (H.5.12).

a) Trong các điểm B, H và C, điểm nào nằm trong, điểm nào nằm trên và điểm nào nằm ngoài đường tròn (A; AB)? Vì sao?

b) Xác định ví trị của điểm D trên đoạn AC trong mỗi trường hợp sau:

- Đường tròn (A) và đường tròn (C; CD) tiếp xúc với nhau;

- Đường tròn (A) và đường tròn (C; CD) cắt nhau;

- Đường tròn (A) và đường tròn (C; CD) không giao nhau.

Cho hình thang cân ABCD (AB//CD).

a) Chứng minh rằng đường trung trực d của AB cũng là đường trung trực của CD (từ đó suy ra hai điểm A và B đối xứng với nhau, C và D đối xứng với nhau qua d).

b) Giải thích tại sao nếu một đường tròn đi qua ba điểm A, B và C thì nó cũng đi qua điểm D.

Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD.

a) Chứng minh rằng A đối xứng với B và C đối xứng với D qua đường thẳng OE.

b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang cân.

c) Biết rằng \(AB = 12cm\) và \(\widehat {COD} = {100^o}\). Tính độ dài cung (nhỏ) AD và cung (lớn) ABC.

d) Với giả thiết ở câu c, tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.

Cho tam giác vuông ABC (\(\widehat A = {90^o}\)) có \(\widehat C = {30^o}\) và AB=3cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.

a) Chứng minh rằng đường tròn (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC.

b) Tính độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung ấy.

c) Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC).

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến PA và PB đến đường tròn (A và B là hai tiếp điểm).

a) Chứng minh rằng \(PO \bot AB\).

b) Gọi C là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh rằng BC//PO.

c) Tính độ dài các cạnh của tam giác PAB, biết OA=3cm và OP=5cm.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ B và từ C kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (A; AH) lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng:

a) Hai điểm D và E đối xứng với nhau qua A;

b) DE tiếp xúc với đường tròn đường kính BC.

Cho đường tròn (O), đường thẳng a tiếp xúc với (O) tại A, đường thẳng b tiếp xúc với (O) tại B sao cho a//b. Gọi C là một điểm tùy ý thuộc (O), khác A và B. Tiếp tuyến c của (O) tại C cắt a và b lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh AB là một đường kính của (O).

b) Gọi D, P và Q lần lượt là các điểm đối xứng với C, M và N qua tâm O. Chứng minh rằng \(D \in \left( O \right),P \in b\) và \(Q \in a\).

c) Chứng minh rằng PQ tiếp xúc với (O) tại D.

d) Chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi.

Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A, hai điểm \(B \in \left( O \right)\) và \(C \in \left( {O'} \right)\) sao cho B và C nằm cùng phía đối với đường thẳng OO’ và OB//O’C.

a) Chứng minh góc BAC là góc vuông.

b) Cho biết \(R = 3cm\), \(R' = 1cm\) và BC cắt OO’ tại D. Tính độ dài đoạn OD.

Cho đường tròn tâm O, đường kính MN. Một đường tròn (N) cắt (O) tại A và B.

a) Chứng minh rằng MA và MB là hai tiếp tuyến của (N).

b) Đường thẳng qua N và vuông góc với NA cắt MB tại C. Chứng minh hai điểm M và N đối xứng với nhau qua OC.

c) Đường thẳng qua M và vuông góc với MA cắt NB tại D. Chứng minh ba điểm O, C và D thẳng hàng.

Cho đường tròn (O; 4cm) và hai điểm A, B. Biết \(OA = \sqrt {15} cm\) và \(OB = 4cm\). Khi đó:

A. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm ngoài (O).

B. Điểm A nằm ngoài (O), điểm B nằm trên (O).

C. Điểm A nằm trên (O), điểm B nằm trong (O).

D. Điểm A nằm trong (O), điểm B nằm trên (O).

Cho Hình 5.42, trong đó BD là đường kính, \(\widehat {AOB} = {40^o};\widehat {BOC} = {100^o}\). Khi đó:

A. \(sđ\overset\frown{DC}={{80}^{o}}\) và \(sđ\overset\frown{AD}={{220}^{o}}\).

B. \(sđ\overset\frown{DC}={{280}^{o}}\) và \(sđ\overset\frown{AD}={{220}^{o}}\).

C. \(sđ\overset\frown{DC}={{280}^{o}}\) và \(sđ\overset\frown{AD}={{140}^{o}}\).

D. \(sđ\overset\frown{DC}={{80}^{o}}\) và \(sđ\overset\frown{AD}={{140}^{o}}\).

Cho hai đường tròn \(\left( {A;{R_1}} \right),\left( {B;{R_2}} \right)\), trong đó \({R_2} < {R_1}\). Biết rằng hai đường tròn (A) và (B) cắt nhau (H.5.43). Khi đó:

A. \(AB < {R_1} - {R_2}\).

B. \({R_1} - {R_2} < AB < {R_1} + {R_2}\).

C. \(AB > {R_1} + {R_2}\).

D. \(AB = {R_1} + {R_2}\).

Cho đường tròn (O; R) và hai đường thẳng \({a_1}\) và \({a_2}\). Gọi \({d_1},{d_2}\) lần lượt là khoảng cách từ điểm O đến \({a_1}\) và \({a_2}\). Biết rằng (O) cắt \({a_1}\) và tiếp xúc với \({a_2}\) (H.5.44). Khi đó:

A. \({d_1} < R\) và \({d_2} = R\).

B. \({d_1} = R\) và \({d_2} < R\).

C. \({d_1} > R\) và \({d_2} = R\).

D. \({d_1} < R\) và \({d_2} < R\).

Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A (khác B và C).

a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì A nằm trên (O).

b) Giả sử A là một trong hai giao điểm của đường tròn (B; BO) với đường tròn (O). Tính các góc của tam giác ABC.

c) Với cùng giả thiết câu b, tính độ dài cung AC và diện tích hình quạt nằm trong (O) giới hạn bởi các bán kính OA và OC, biết rằng \(BC = 6cm\).

Cho AB là một dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn (O; 4cm). Gọi C và D lần lượt là các điểm đối xứng với A và B qua tâm O.

a) Hai điểm C và D có nằm trên đường tròn (O) không? Vì sao?

b) Biết rằng ABCD là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn AB và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB.

Cho điểm B nằm giữa hai điểm A và C, sao cho \(AB = 2cm\) và \(BC = 1cm\). Vẽ các đường tròn (A; 1,5cm), (B; 3cm) và (C; 2cm). Hãy xác định các cặp đường tròn:

a) Cắt nhau;

b) Không giao nhau;

c) Tiếp xúc với nhau.

Cho tam giác ABC (\(\widehat A\) vuông). Vẽ hai đường tròn (B; BA) và (C; CA) cắt nhau tại A và A’. Chứng minh rằng:

a) BA và BA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (C; CA);

b) CA và CA’ là hai tiếp tuyến cắt nhau của đường tròn (B; BA).

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng d đi qua A cắt (O) tại E và cắt (O’) tại F (E và F khác A). Biết điểm A nằm trong đoạn EF. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AE và AF (H.5.49).

a) Chứng minh rằng tứ giác OO’KI là một hình thang vuông.

b) Chứng minh rằng \(IK = \frac{1}{2}EF\).

c) Khi d ở vị trí nào (d vẫn qua A) thì OO’KI là một hình chữ nhật?

Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB.

a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).

b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?

c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.

d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).