Cho đường tròn (O) đường kính BC và điểm A (khác B và C).
a) Chứng minh rằng nếu A nằm trên (O) thì ABC là một tam giác vuông; ngược lại, nếu ABC là tam giác vuông tại A thì nằm trên (O).
b) Giả sử A là một trong hai giao điểm của đường tròn (B; BO) với đường tròn (O). Tính các góc của tam giác ABC.
c) Với cùng giả thiết câu b), tính độ dài cung AC và diện tích hình quạt nằm trong (O) giới hạn bởi các bán kính OA và OC, biết rằng BC = 6 cm.
Tam giác có đường trung tuyến ứng với một cạnh và bằng nửa cạnh đấy là tam giác vuông
Diện tích hình quạt tròn bán kính R ứng với cung n0 là \(\frac{{\pi {R^2}.n}}{{360}}\)
Độ dài cung tròn n0 của đường tròn bán kính R là \(\frac{{\pi Rn}}{{180}}\)
a) A nằm trên đường tròn tâm O nên AO = BO = CO
Tam giác ABC có AO là đường trung tuyến ứng với cạnh BC và \(AO = \frac{1}{2}BC\)
Nên tam giác ABC vuông tại A.
Chiều ngược lại:
Nếu tam giác ABC vuông tại A, gọi O là trung điểm của cạnh huyền BC thì ta có AO = BO = CO (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)
Từ đó ta có A, B, C thuộc đường tròn tâm O.
b)
A là giao điểm của hai đường tròn (O) và (B) nên A thuộc (O) đường kính BC nên tam giác BAC vuông tại A.
Tam giác ABO có \(AB = BO = AO\) nên tam giác ABO đều suy ra \(\widehat {ABO} = \widehat {AOB} = \widehat {BAO} = {60^0}\)
Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat B + \widehat C = {90^0}\) hay \({60^0} + \widehat C = {90^0}\) hay \(\widehat C = {30^0}\)
c) Ta có: \(\widehat {AOB} + \widehat {AOC} = {180^0}\) (hai góc kề bù)
nên \({60^0} + \widehat {AOC} = {180^0}\) hay \(\widehat {AOC} = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)
Đường kính BC = 6 cm nên bán kính đường tròn (O) là \(6:2 = 3\) cm
Độ dài cung AC là \(\frac{{2\pi .3.120}}{{360}} = 2\pi \) cm
Diện tích phần quạt chứa OA, OC là \(\frac{{\pi {R^2}.120}}{{360}} = \frac{{{3^2}\pi .120}}{{360}} = 3\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Em hãy tìm một số hình ảnh của hình quạt tròn và hình vành khuyên trong thực tế
Cho đường tròn (O; 5 cm).
a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây AB bằng 2,5 cm.
b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm).
c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB.
d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.
Cho AB là một dây bất kì (không phải là đường kính) của đường tròn (O; 4 cm). Gọi C và D lần lượt là các điểm đối xứng với A và B qua tâm O.
a) Hai điểm C và D có nằm trên đường tròn (O) không? Vì sao?
b) Biết rằng ABCD là một hình vuông. Tính độ dài cung lớn AB và diện tích hình quạt tròn tạo bởi hai bán kính OA và OB.
Tính diện tích hình viên phân giới hạn bởi dây cung có độ dài là 55 cm và cung số đo là 95o. (Hình 12).
Một máy kéo nông nghiệp có đường kính bánh xe sau là 124 cm và đường kính bánh xe trước là 80 cm. Hỏi sau khi bánh xe sau lăn được 20 vòng thì bánh xe trước lăn được bao nhiêu vòng?
Hãy hoàn thành bảng số liệu sau và vở (lấy \(\pi \approx 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng phần mười)
Trên đường thẳng xy, lấy lần lượt ba điểm A, B, C sao cho AB > BC. Vẽ đường tròn (O) đường kính AB và đường tròn (O’) đường kính BC.
a) Chứng minh rằng hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài B.
b) Gọi H là trung điểm AC. Vẽ dây DE của (O) vuông góc với AC tại H. Chứng minh tứ giác ADCE là hình thoi.
c) DC cắt đường tròn (O’) tại F. Chứng minh rằng ba điểm F, B, E thẳng hàng.
d) Chứng minh rằng HF là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Hải đăng Kê Gà tọa lạc tại xã Tân Thành, huyên Hàm Thuận Nam, tỉnh Bình Thuận. Biết ngọn hải đăng cao 65 m so với mặt nước biển. Với khoảng cách bao nhiêu kilomet thì người quan sát trên tàu bắt đầu trông thấy ngọn của hải đăng này?
Cho biết mắt người quan sát ở độ cao 5 m so với mực nước biển và bán kính Trái Đất gần bằng 6400 km.
Quan sát các hình 83, 84, 85, 86.
a) Tính diện tích phần được tô màu trong mỗi hình đó.
b) Tính độ dài cung tròn được tô màu xanh ở mỗi hình 83, 84.
Khi đóng đáy thuyền cho những con thuyền vượt biển, người Vikigns sử dụng hai loại nêm: nêm góc và nêm cong (lần lượt tô màu xanh, màu đỏ trong Hình 89). Mặt cắt \(ABCD\) của nêm góc có dạng hai tam giác vuông \(OAE,ODE\) bằng nhau với cạnh huyền chung và bỏ đi hình quạt tròn \(OBC\)(Hình 90), được làm từ những thân cây mọc thẳng. Mặt cắt \(MNPQ\) của nêm cong có dạng một phần của hình vành khuyên (Hình 91), được làm từ những thân cây cong. Kích thước của nêm cong được cho như ở Hình 91.
a) Diện tích của nêm cong là bao nhiêu centimét vuông (lấy 1 ft = 30,48cm, 1 in = 2,54cm, \(\pi = 3,14\) và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?
b) Cần phải biết những kích thước nào của nêm góc để tính được diện tích của nêm đó?
a) Độ dài cung tròn có số đo \(30^\circ \) của đường tròn có bán kính \(R\) là:
A. \(\frac{{\pi R}}{{180}}\)
B. \(\frac{{\pi R}}{{360}}\)
C. \(30\pi R\)
D. \(\frac{{\pi R}}{6}\)
b) Diện tích của hình quạt tròn tâm O, bán kính R, cung có số đo \(45^\circ \) là:
A. \(\frac{{\pi {R^2}}}{{45}}\)
B. \(\frac{{\pi {R^2}}}{4}\)
C. \(\frac{{\pi {R^2}}}{8}\)
D. \(\frac{{\pi {R^2}}}{{16}}\)
Quay lại hoạt động gấp hình tròn trong Hoạt động 1.
Hãy xác định các số đo cung và tỉ số trong các ô ? của bảng dưới đây. Em có nhận xét gì?
Quay lại hoạt động gấp hình tròn trong Hoạt động 1.
Hãy xác định các số đo cung và tỉ số trong các ô ? của bảng dưới đây. Em có nhận xét gì?
Trong Hình 5.54, chiếc quạt có dạng một hình quạt tròn tâm O cung AB, bán kính \(OA = OB = 20cm\). Giấy được dán trong phần giới hạn bởi cung AB, cung CD, đoạn thẳng AC và BD với \(OC = OD = 10cm\). Biết khi mở rộng tối đa, hai nan quạt ngoài cùng tạo thành một góc \(\widehat {AOB} = {140^o}\). Tính chu vi và diện tích mảnh giấy để dán một mặt quạt (diện tích mép không đáng kể).
Tính chu vi và diện tích phần được tô màu trong mỗi trường hợp ở Hình 5.56. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.
Độ dài L (đơn vị cm) của cung tròn và diện tích S của hình quạt tròn (đơn vị \(c{m^2}\)) có cùng bán kính 9cm và cùng ứng với cung \({280^o}\) là:
A. \(L = 7\pi \) và \(S = 63\pi \).
B. \(L = 14\pi \) và \(S = 63\pi \).
C. \(L = 7\pi \) và \(S = 28\pi \).
D. \(L = 14\pi \) và \(S = 28\pi \).
Quan sát Hình 8 và tính
a) Số đo cung AmB.
b) Độ dài cung AmB.
c) Diện tích hình quạt tròn OAmB.
d) Diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AmB và dây AB.
Cho đường tròn (O) đường kính AB = 3 cm, \(\widehat {CAB}\) = 30o (Hình 9).
a) Tính độ dài cung BmD.
b) Tính diện tích hình quạt tròn OBmD.
Hai trạm phát sóng A và B đặt cách nhau 100 km. Trạm phát sóng A và trạm phát sóng B có bán kính hoạt động lần lượt là 50 km và \(50\sqrt 3 \) km. Tính diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng phát từ trạm A và trạm B. Biết rằng nếu khoảng cách từ thiết bị thu sóng đến trạm phát sóng lớn hơn bán kính hoạt động của trạm phát sóng thì thiết bị không thu được sóng của trạm phát sóng đó.
Hoàn thành số liệu ở bảng sau (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của đơn vị đo đã cho nếu cần, lấy \(\pi \approx 3,14\)):
