Cho tam giác vuông ABC (\(\widehat A = {90^o}\)) có \(\widehat C = {30^o}\) và AB=3cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.
a) Chứng minh rằng đường tròn (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC.
b) Tính độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung ấy.
c) Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC).
a) + Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC tại E.
+ Sử dụng tính chất tia phân giác của góc suy ra \(AD = DE\).
+ Do đó, đường tròn (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC tại E.
b) + \(\widehat {ABC} = {90^o} - \widehat {BCA}\) nên \(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = {30^o}\).
+ Tam giác ABD vuông tại A nên \(AD = AB.\tan \widehat {ABD}\).
+ \(\widehat {BDC} = {180^o} - \widehat {DBC} - \widehat {DCB}\) nên tính được số đo cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA).
+ Từ đó tính được độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) và diện tích hình quạt tròn của cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA)
c) + Tam giác ABC vuông tại A nên \(AC = AB.\cot \widehat {ACB}\), từ đó tính được DC.
Diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC) là: \({S_{vk}} = \pi \left( {D{C^2} - D{A^2}} \right)\).
a) Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC, cắt BC tại E.
Vì BD là phân giác của góc ABC, AD vuông góc với AB tại A, DE vuông góc với BC tại E nên \(AD = DE\). Do đó, đường tròn (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC tại E.
b) Tam giác ABC vuông tại A nên
\(\widehat {ABC} = {90^o} - \widehat {BCA} = {60^o}\).
Vì BA là tia phân giác của góc ABC nên
\(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = \frac{1}{2}\widehat {ABC} = {30^o}\).
Tam giác ABD vuông tại A nên
\(AD = AB.\tan \widehat {ABD} = 3.\tan {30^o} = \sqrt 3 \left( {cm} \right)\).
Tam giác BDC có:
\(\widehat {BDC} = {180^o} - \widehat {DBC} - \widehat {DCB} = {120^o}\).
Do đó, cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) có số đo bằng \({120^o}\).
Độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) là:
\(l = \frac{{120}}{{180}}.\pi .\sqrt 3 = \frac{{2\sqrt 3 \pi }}{3}\left( {cm} \right)\).
Diện tích hình quạt tròn của cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) là:
\(S = \frac{{120}}{{360}}.\pi .{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = \pi \left( {c{m^2}} \right)\)
c) Tam giác ABC vuông tại A nên
\(AC = AB.\cot \widehat {ACB} = 3.\cot {30^o} = 3\sqrt 3 \left( {cm} \right)\).
Do đó, \(DC = AC - AD = 2\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
Diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC) là:
\({S_{vk}} = \pi \left( {D{C^2} - D{A^2}} \right) \\= \pi \left[ {{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} \right] \\= 9\pi \left( {c{m^2}} \right)\)
Các bài tập cùng chuyên đề
Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD.
a) Chứng minh rằng A đối xứng với B và C đối xứng với D qua đường thẳng OE.
b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang cân.
c) Biết rằng \(AB = 12cm\) và \(\widehat {COD} = {100^o}\). Tính độ dài cung (nhỏ) AD và cung (lớn) ABC.
d) Với giả thiết ở câu c, tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB.
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).
b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
