Cho đường tròn (O;R) , (O;R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ các đường kính AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Tứ giác BDCE là hình gì?
b) Gọi I là giao điểm của DA và đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, I, C thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
a) Chứng minh \(\Delta ODK = \Delta OEK\left( {ch - cgv} \right)\) suy ra DK = KE.
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.
b) Dựa vào tính chất của hình thoi suy ra BD // CE
Chứng minh $\Delta BDA\backsim \Delta CIA$ suy ra \(\widehat {BDA} = \widehat {CIA}\) dẫn đến BD // CI
Từ tiên đề Euclid suy ra ba điểm E, I, C thẳng hàng.
c) Chứng minh tam giác ACI vuông tại I dựa vào định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Xét tam giác DIE suy ra \(\widehat {KDI} = \widehat {KID}\)
Chứng minh \(\widehat {O'IA} = \widehat {CEK}\)
Từ đó chứng minh \(\widehat {KIO'} = 90^\circ \) (tổng hai góc phụ nhau).
Suy ra KI là tiếp tuyến của (O’) tại I.
a) Vì \(DE \bot BC\) nên \(DE \bot OA\).
Xét \(\Delta ODK\) và \(\Delta OEK\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat {OKD} = \widehat {OKE} = 90^\circ \\OD = OE = R\\OK\,{\rm{chung}}\end{array}\)
Suy ra \(\Delta ODK = \Delta OEK\left( {ch - cgv} \right)\)
Do đó DK = KE (hai cạnh tương ứng).
Mà \(K \in DE\) suy ra K là trung điểm của BE.
Tứ giác BDCE có K là trung điểm của hai đường chéo DE, BC và \(BC \bot DE\) tại K nên tứ giác BDCE là hình thoi.
b) Vì BDCE là hình thoi nên BD // CE (hai cạnh đối song song) (1)
Suy ra \(\widehat {DBA} = \widehat {ICA}\) (hai góc so le trong)
Xét \(\Delta BDA\) và \(\Delta CIA\) có:
\(\widehat {DBA} = \widehat {ICA}\) (cmt)
\(\widehat {DAB} = \widehat {IAC}\) (hai góc đối đỉnh)
Suy ra $\Delta BDA\backsim \Delta CIA$ (g.g)
Do đó \(\widehat {BDA} = \widehat {CIA}\) (2 góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BD // CI (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, I, C thẳng hàng (theo tiên đề Euclid).
c) Vì O’I = O’A = O’C = \(\frac{1}{2}\)AC nên tam giác ACI vuông tại I.
Suy ra tam giác DIE vuông tại I, do đó \(KI = DK = KE = \frac{1}{2}DE\) nên \(\widehat {KDI} = \widehat {KID}\) (3)
Xét \(\Delta CIA\) và \(\Delta CKE\) có:
\(\begin{array}{l}\widehat {CIA} = \widehat {CKE} = 90^\circ \\\widehat C\,{\rm{chung}}\end{array}\)
Suy ra $\Delta CIA\backsim \Delta CKE$ (g.g), do đó \(\widehat {CAI} = \widehat {CEK}\).
Vì O’I = O’A nên tam giác O’AI cân tại O’, suy ra \(\widehat {O'AI} = \widehat {O'IA}\).
Do đó \(\widehat {O'IA} = \widehat {CEK}\) (4)
Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {KIO'} = \widehat {KIA} + \widehat {AIO'} = \widehat {KDI} + \widehat {CEK} = 90^\circ \) (hai góc \(\widehat {KDI}\) và \(\widehat {CEK}\) là hai góc phụ nhau)
Do đó \(\widehat {KIO'} = 90^\circ \) hay \(KI \bot O'I\), \(I \in \left( {O'} \right)\).
Vậy KI là tiếp tuyến của (O’) tại I.
Các bài tập cùng chuyên đề
Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD.
a) Chứng minh rằng A đối xứng với B và C đối xứng với D qua đường thẳng OE.
b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang cân.
c) Biết rằng \(AB = 12cm\) và \(\widehat {COD} = {100^o}\). Tính độ dài cung (nhỏ) AD và cung (lớn) ABC.
d) Với giả thiết ở câu c, tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.
Cho tam giác vuông ABC (\(\widehat A = {90^o}\)) có \(\widehat C = {30^o}\) và AB=3cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.
a) Chứng minh rằng đường tròn (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC.
b) Tính độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung ấy.
c) Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC).
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB.
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).
b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A và B). Kẻ CH vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh \(\Delta ABC\) vuông tại C và \(C{H^2} = AC.BC.\sin A.\cos A\).
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BC ở D. Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh đường thẳng IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt IC ở K. Xác định vị trí điểm C trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABKI nhỏ nhất.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, \(D \in \left( O \right)\) và \(E \in \left( {O'} \right)\). Gọi M là giao điểm của BD và CE.
a) Tính số đo của \(\widehat {DAE}\).
b) Tứ giác ADME là hình gì?
c) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
