Cho đường tròn (O;R) , (O;R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ các đường kính AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC.
a) Tứ giác BDCE là hình gì?
b) Gọi I là giao điểm của DA và đường tròn (O’). Chứng minh rằng ba điểm E, I, C thẳng hàng.
c) Chứng minh rằng KI là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
a) Chứng minh ΔODK=ΔOEK(ch−cgv) suy ra DK = KE.
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.
b) Dựa vào tính chất của hình thoi suy ra BD // CE
Chứng minh ΔBDA∽ΔCIA suy ra ^BDA=^CIA dẫn đến BD // CI
Từ tiên đề Euclid suy ra ba điểm E, I, C thẳng hàng.
c) Chứng minh tam giác ACI vuông tại I dựa vào định lí đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền.
Xét tam giác DIE suy ra ^KDI=^KID
Chứng minh ^O′IA=^CEK
Từ đó chứng minh ^KIO′=90∘ (tổng hai góc phụ nhau).
Suy ra KI là tiếp tuyến của (O’) tại I.
a) Vì DE⊥BC nên DE⊥OA.
Xét ΔODK và ΔOEK có:
^OKD=^OKE=90∘OD=OE=ROKchung
Suy ra ΔODK=ΔOEK(ch−cgv)
Do đó DK = KE (hai cạnh tương ứng).
Mà K∈DE suy ra K là trung điểm của DE.
Tứ giác BDCE có K là trung điểm của hai đường chéo DE, BC và BC⊥DE tại K nên tứ giác BDCE là hình thoi.
b) Vì BDCE là hình thoi nên BD // CE (hai cạnh đối song song) (1)
Suy ra ^DBA=^ICA (hai góc so le trong)
Xét ΔBDA và ΔCIA có:
^DBA=^ICA (cmt)
^DAB=^IAC (hai góc đối đỉnh)
Suy ra ΔBDA∽ΔCIA (g.g)
Do đó ^BDA=^CIA (2 góc tương ứng)
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BD // CI (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba điểm E, I, C thẳng hàng (theo tiên đề Euclid).
c) Vì O’I = O’A = O’C = 12AC nên tam giác ACI vuông tại I.
Suy ra tam giác DIE vuông tại I, do đó KI=DK=KE=12DE nên ^KDI=^KID (3)
Xét ΔCIA và ΔCKE có:
^CIA=^CKE=90∘ˆCchung
Suy ra ΔCIA∽ΔCKE (g.g), do đó ^CAI=^CEK.
Vì O’I = O’A nên tam giác O’AI cân tại O’, suy ra ^O′AI=^O′IA.
Do đó ^O′IA=^CEK (4)
Từ (3) và (4) suy ra ^KIO′=^KIA+^AIO′=^KDI+^CEK=90∘ (hai góc ^KDI và ^CEK là hai góc phụ nhau)
Do đó ^KIO′=90∘ hay KI⊥O′I, I∈(O′).
Vậy KI là tiếp tuyến của (O’) tại I.
Các bài tập cùng chuyên đề
Giả sử CD là một dây song song với đường kính AB của đường tròn (O) sao cho ABCD là một tứ giác lồi. Gọi E là trung điểm của đoạn CD.
a) Chứng minh rằng A đối xứng với B và C đối xứng với D qua đường thẳng OE.
b) Chứng minh rằng tứ giác ABCD là một hình thang cân.
c) Biết rằng AB=12cm và ^COD=100o. Tính độ dài cung (nhỏ) AD và cung (lớn) ABC.
d) Với giả thiết ở câu c, tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ BD.
Cho tam giác vuông ABC (ˆA=90o) có ˆC=30o và AB=3cm. Đường phân giác của góc B cắt AC tại D.
a) Chứng minh rằng đường tròn (D; DA) tiếp xúc với cạnh BC.
b) Tính độ dài cung nằm trong góc BDC của đường tròn (D; DA) và diện tích hình quạt tròn tương ứng với cung ấy.
c) Tính diện tích hình vành khuyên tạo bởi hai đường tròn (D; DA) và (D; DC).
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB.
a) Xác định vị trí tương đối của hai đường tròn (O) và (O’).
b) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
c) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O’). Chứng minh ba điểm E, C, K thẳng hàng.
d) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O’).
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và điểm C thuộc đường tròn (O) (C khác A và B). Kẻ CH vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh ΔABC vuông tại C và CH2=AC.BC.sinA.cosA.
b) Tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) cắt tia BC ở D. Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh đường thẳng IC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Tiếp tuyến tại B của đường tròn (O) cắt IC ở K. Xác định vị trí điểm C trên đường tròn (O) để diện tích tứ giác ABKI nhỏ nhất.
Cho hai đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ các đường kính AOB, AO’C. Gọi DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn, D∈(O) và E∈(O′). Gọi M là giao điểm của BD và CE.
a) Tính số đo của ^DAE.
b) Tứ giác ADME là hình gì?
c) Chứng minh MA là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.
Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O′) có đường kính CB.
a) Kẻ dây DE của đường tròn (O) vuông góc với AC tại trung điểm H của AC. Tứ giác ADCE là hình gì? Vì sao?
b) Gọi K là giao điểm của DB và đường tròn (O′). Chứng minh rằng ba điểm E, C, K thẳng hàng;
c) Chứng minh HK là tiếp tuyến của đường tròn (O′).
Cho tam giác MNP có MN = 5cm, NP = 12cm, MP = 13cm. Vẽ đường tròn (M;MN), gọi Q là giao điểm của đường tròn với MP.
Cho tam giác MNP có MN = 5cm, NP = 12cm, MP = 13cm. Vẽ đường tròn (M;MN), đường thẳng MP cắt đường tròn tại hai điểm O và Q (Q nằm giữa O và P).
