-
GIẢI TÍCH SBT - TOÁN 12
-
HÌNH HỌC SBT - TOÁN 12
Bài 1.33 trang 20 SBT hình học 12
Giải bài 1.33 trang 20 sách bài tập hình học 12. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi (H) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện đều đó. Tính tỉ số...
Đề bài
Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \((H)\) là hình bát diện đều có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tứ diện đều đó. Tính tỉ số \(\dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{ABCD}}}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Tính thể tích khối tứ diện đều.
- Tính thể tích khối bát diện đều.
- Từ đó suy ra tỉ số.
Lời giải chi tiết
Gọi cạnh của tứ diện đều là \(a\) thì cạnh của hình bát diện đều \(\left( H \right)\) là \(\dfrac{a}{2}\).
+) Tính thể tích tứ diện đều \(ABCD\) cạnh \(a\).
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\) và \(F\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\).
Khi đó \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\) và \(DF = \sqrt {D{A^2} - A{F^2}} \) \( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABC}}.DF\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\).
+) Tính thể tích khối bát diện đều cạnh \(\dfrac{a}{2}\).
Xét bát diện đều \(SABCDS'\) có cạnh \(\dfrac{a}{2}\).
Thể tích khối bát diện đều \({V_{\left( H \right)}} = 2{V_{S.ABCD}}\)
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Vì \(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow OA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
\(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)\( \Rightarrow SO \bot OA\) \( \Rightarrow \Delta SOA\) vuông tại \(O\)
\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}} \)\( = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}}\)\( = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}.{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}}\)
\( \Rightarrow {V_{\left( H \right)}} = 2.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{48}} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{24}}\)
Vậy \(\dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}\).
Loigiaihay.com
Bình luận
Chia sẻ
- Bài 1.34 trang 20 SBT hình học 12
- Bài 1.32 trang 20 SBT hình học 12
- Bài 1.31 trang 20 SBT hình học 12
- Bài 1.30 trang 20 SBT hình học 12
- Bài 1.29 trang 20 SBT hình học 12
>> Xem thêm
Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay
Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
