Bài 97 trang 132 SGK giải tích 12 nâng cao


Giải các bát phương trình sau:

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

Giải các bát phương trình sau:

LG a

\(\eqalign{
{{1 - {{\log }_4}x} \over {1 + {{\log }_2}x}} \le {1 \over 2}\,; \cr } \)

Lời giải chi tiết:

ĐK: x > 0

Ta có \({\log _4}x = {1 \over 2}{\log _2}x\). Đặt \(t = {\log _2}x\)

Ta có bất phương trình:

\(\eqalign{
& {{1 - {1 \over 2}t} \over {1 + t}} - {1 \over 2} \le 0\cr& \Leftrightarrow {{2 - t - 1 - t} \over {2\left( {1 + t} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow {{1 - 2t} \over {1 + t}} \le 0 \cr 
& \Leftrightarrow t < - 1\,\,\text{ hoặc }\,\,t \ge {1 \over 2}\cr& \Leftrightarrow {\log _2}x < - 1\,\,\text{ hoặc }\,\,{\log _2}x \ge {1 \over 2} \cr 
& \Leftrightarrow 0 < x < {1 \over 2}\,\,\text{ hoặc }\,\,x \ge \sqrt 2 \cr} \)

Vậy \(S = \left( {0;{1 \over 2}} \right) \cup \left[ {\sqrt 2 ; + \infty } \right)\)

Chú ý:

Các em cũng có thể đặt \({\log _4}x = t \) \(\Rightarrow {\log _2}x = 2{\log _4}x = 2t\) và được bất phương trình:

\(\begin{array}{l}
\frac{{1 - t}}{{1 + 2t}} \le \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{1 - t}}{{1 + 2t}} - \frac{1}{2} \le 0\\
\Leftrightarrow \frac{{2 - 2t - 1 - 2t}}{{2\left( {1 + 2t} \right)}} \le 0\\
\Leftrightarrow \frac{{1 - 4t}}{{2\left( {1 + 2t} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t \ge \frac{1}{4}\\
t < - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\log _4}x \ge \frac{1}{4}\\
{\log _4}x < - \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge {4^{\frac{1}{4}}} = {2^{\frac{1}{2}}} = \sqrt 2 \\
x < {4^{ - \frac{1}{2}}} = \frac{1}{{{4^{\frac{1}{2}}}}} = \frac{1}{2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge \sqrt 2 \\
x < \frac{1}{2}
\end{array} \right.
\end{array}\)

LG b

\({\log _{{1 \over {\sqrt 5 }}}}\left( {{6^{x + 1}} - {{36}^x}} \right) \ge  - 2;\)

Lời giải chi tiết:

 Ta có \({\log _{{1 \over {\sqrt 5 }}}}\left( {{6^{x + 1}} - {{36}^x}} \right) \ge  - 2\)

\( \Leftrightarrow 0 < {6^{x + 1}} - {36^x} \le {\left( {{1 \over {\sqrt 5 }}} \right)^{ - 2}} = 5 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{6.6^x} - {36^x} > 0 \hfill \cr 
{6.6^x} - {36^x} \le 5 \hfill \cr} \right.\)

Đặt \(t = {6^x}\,\,\left( {t > 0} \right)\). Ta có hệ:

\(\left\{ \matrix{
6t - {t^2} > 0 \hfill \cr 
{t^2} - 6t + 5 \ge 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
0 < t < 6 \hfill \cr 
t \le 1\,\,\text{ hoặc }\,\,t \ge 5 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
0 < t \le 1 \hfill \cr 
5 \le t < 6 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{6^x} \le 1 \hfill \cr 
5 \le {6^x} < 6 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr 
{\log _6}5 \le x < 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_6}5;1} \right)\)

Cách trình bày khác:

ĐK: \({6^{x + 1}} - {36^x} > 0\) \( \Leftrightarrow {6.6^x} - {6^{2x}} > 0 \) \( \Leftrightarrow 6 - {6^x} > 0 \) \(  \Leftrightarrow {6^x} < 6 \Leftrightarrow x < 1\)

Khi đó, hệ bpt

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {6^{x + 1}} - {36^x} \le {\left( {\frac{1}{{\sqrt 5 }}} \right)^{ - 2}} = 5\\
\Leftrightarrow {6.6^x} - {\left( {{6^x}} \right)^2} \le 5\\
\Leftrightarrow {\left( {{6^x}} \right)^2} - {6.6^x} + 5 \ge 0\\
\end{array}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{6^x} \ge 5\\
{6^x} \le 1
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge {\log _6}5\\
x \le 0
\end{array} \right.\)

Kết hợp ĐK ta được 

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le 0 \hfill \cr 
{\log _6}5 \le x < 1 \hfill \cr} \right.\)

Vậy \(S = \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_6}5;1} \right)\)

LG c

\({\log _{{1 \over 5}}}\left( {{x^2} - 6x + 18} \right) \) \(+ 2{\log _5}\left( {x - 4} \right) < 0.\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: 

\(\left\{ \matrix{
{x^2} - 6x + 18 > 0 \hfill \cr 
x - 4 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x > 4\)

\(\eqalign{
& {\log _{{1 \over 5}}}\left( {{x^2} - 6x + 18} \right) + 2{\log _5}\left( {x - 4} \right) < 0\cr&\Leftrightarrow  - {\log _5}\left( {{x^2} - 6x + 18} \right) + {\log _5}{\left( {x - 4} \right)^2} < 0\cr& \Leftrightarrow {\log _5}{\left( {x - 4} \right)^2} < {\log _5}\left( {{x^2} - 6x + 18} \right) \cr 
&  \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} < {x^2} - 6x + 18\cr& \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 < {x^2} - 6x + 18\cr& \Leftrightarrow  - 2x < 2\cr& \Leftrightarrow x >- 1 \cr} \)

Kết hợp điều kiện ta có \(x > 4\)

Vậy \(S = \left( {4; + \infty } \right)\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 4 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài