Bài 87 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao


Chứng minh rằng

Đề bài

Chứng minh rằng \({\log _2}3 > {\log _3}4\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương \({\log _3}2\) và \({\log _3}4\).

Lời giải chi tiết

Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right) \cr&= {1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \cr 
& \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1 \cr} \)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\log _3}4 < \frac{1}{{{{\log }_3}2}} = {\log _2}3\\
\Rightarrow {\log _2}3 > {\log _3}4
\end{array}\)

Chú ý:

Ta có cách trình bày khác như sau:

Ta có \({\log _2}3 > {\log _3}4 \) \(\Leftrightarrow {1 \over {{{\log }_3}2}} > {\log _3}4\)

\(\Leftrightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\) (vì \({\log _3}2 > 0\))

Áp dụng BĐT cô si cho hai số dương ta có:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} < {1 \over 2}\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right) \cr&= {1 \over 2}{\log _3}8 < {1 \over 2}{\log _3}9 = 1 \cr 
& \Rightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\,\,\left( {dpcm} \right) \cr} \)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.3 trên 3 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài