Bài 85 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao


Cho x < 0. Chứng minh rằng:

Đề bài

Cho \(x < 0\). Chứng minh rằng: \(\sqrt {{{ - 1 + \sqrt {1 + {1 \over 4}{{\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)}^2}} } \over {1 + \sqrt {1 + {1 \over 4}{{\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)}^2}} }}}  = {{1 - {2^x}} \over {1 + {2^x}}}\)

Lời giải chi tiết

Ta có: \(1 + {1 \over 4}{\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)^2} \)

\(\begin{array}{l}
= 1 + \frac{1}{4}\left( {{2^{2x}} - {{2.2}^x}{{.2}^{ - x}} + {2^{ - 2x}}} \right)\\
= 1 + \frac{1}{4}\left( {{4^x} - 2 + {4^{ - x}}} \right)
\end{array}\)

\(= {1 \over 4}\left( {4 + {4^x} - 2 + {4^{ - x}}} \right)\)

\(= {1 \over 4}\left( {{4^x} + 2 + {4^{ - x}}} \right) \)

\( = \frac{1}{4}\left( {{2^{2x}} + {{2.2}^x}{{.2}^{ - x}} + {2^{ - 2x}}} \right)\)

\(= {1 \over 4}{\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)^2}\)

\( \Rightarrow \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {\frac{1}{4}{{\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}^2}} \) \(   = \frac{1}{2}\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)\)

Do đó:

\(\eqalign{
& \sqrt {{{ - 1 + \sqrt {1 + {1 \over 4}{{\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)}^2}} } \over {1 + \sqrt {1 + {1 \over 4}{{\left( {{2^x} - {2^{ - x}}} \right)}^2}} }}} \cr&= \sqrt {{{ - 1 + {1 \over 2}\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)} \over {1 + {1 \over 2}\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}}} \cr& = \sqrt {\frac{{\frac{{ - 2 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{2}}}{{\frac{{2 + {2^x} + {2^{ - x}}}}{2}}}} \cr&= \sqrt {{{{2^x} - 2 + {2^{ - x}}} \over {{2^x} + 2 + {2^{ - x}}}}} \cr 
& = \sqrt {{{{2^x} - 2 + {1 \over {{2^x}}}} \over {{2^x} + 2 + {1 \over {{2^x}}}}}}\cr&  = \sqrt {\frac{{\frac{{{4^x} - {{2.2}^x} + 1}}{{{2^x}}}}}{{\frac{{{4^x} + {{2.2}^x} + 1}}{{{2^x}}}}}} \cr&= \sqrt {{{{4^x} - {{2.2}^x} + 1} \over {{4^x} + {{2.2}^x} + 1}}} \cr&= \sqrt {{{{{\left( {{2^x} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{2^x} + 1} \right)}^2}}}}  = \frac{{\left| {{2^x} - 1} \right|}}{{\left| {{2^x} + 1} \right|}}\cr&= {{1 - {2^x}} \over {1 + {2^x}}} \cr} \) 

(vì với \(x < 0\) thì \({2^x} < 1\))  

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
4 trên 3 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài