Bài 89 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao


Chứng minh rằng hàm số thỏa mãn hệ thức

Đề bài

Chứng minh rằng hàm số \(y = \ln {1 \over {1 + x}}\) thỏa mãn hệ thức \(xy' + 1 = {e^y}\)

Lời giải chi tiết

Điều kiện: \(x > -1\).

Ta có \(y = \ln 1 - \ln \left( {1 + x} \right)=  - \ln \left( {1 + x} \right) \)

\(\Rightarrow y' =  - \dfrac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{1 + x}}=  - {1 \over {1 + x}}\)

Khi đó: \(xy' + 1 = {{ - x} \over {1 + x}} + 1  = \frac{{ - x + 1 + x}}{{1 + x}}= {1 \over {1 + x}}\)

Lại có \({e^y} = {e^{\ln \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)}} = \frac{1}{{1 + x}}\)

Vậy \(xy' + 1 = {e^y}\)

Chú ý:

Các em có thể tính đạo hàm cách khác nhưng dài hơn như sau:

\(\begin{array}{l}
y = \ln \frac{1}{{1 + x}}\\
y' = \frac{{\left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)'}}{{\frac{1}{{1 + x}}}} = \left( {\frac{1}{{1 + x}}} \right)':\frac{1}{{1 + x}}\\
= - \frac{{\left( {1 + x} \right)'}}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}.\left( {1 + x} \right)\\
= - \frac{1}{{{{\left( {1 + x} \right)}^2}}}.\left( {1 + x} \right)\\
= - \frac{1}{{1 + x}}
\end{array}\)

   Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.5 trên 2 phiếu

>> Luyện thi tốt nghiệp THPT và Đại học năm 2021, mọi lúc, mọi nơi tất cả các môn cùng các thầy cô giỏi nổi tiếng, dạy hay dễ hiểu trên Tuyensinh247.com. Đã có đầy đủ các khóa học từ nền tảng tới luyện thi chuyên sâu.


Gửi bài