Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Ôn tập chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số..

Bài 90 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao


Giả sử đồ thị (G) của hàm số cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).

Đề bài

Giả sử đồ thị (G) của hàm số \(y = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}} \over {\ln 2}}\) cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).

Lời giải chi tiết

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {1 \over {\ln 2}}\)

Tọa độ điểm \(A\left( {0;{1 \over {\ln 2}}} \right)\).
Vậy \(OA = {1 \over {\ln 2}}\)
Ta có \(y' = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}.\ln \sqrt 2 } \over {\ln 2}} = {1 \over 2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^x} \)

\(\Rightarrow y'\left( 0 \right) = {1 \over 2}\)
Phương trình tiếp tuyến tại A là: \(y - {1 \over {\ln 2}} = {1 \over 2}(x-0)\)

\(\Rightarrow y = {1 \over 2}x + {1 \over {\ln 2}}\)
Giao điểm B của tiếp tuyến với trục hoành:

Cho \(y=0\) ta được: 

\(\frac{1}{2}x + \frac{1}{{\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{2}{{\ln 2}} \) \(\Rightarrow B\left( { - {2 \over {\ln 2}};0} \right)\) suy ra \(OB = {2 \over {\ln 2}}\)

Vậy \({S_{OAB}} = {1 \over 2}OA.OB \) \(= {1 \over 2}.{1 \over {\ln 2}}.{2 \over {\ln 2}} = {1 \over {{{\ln }^2}2}} \approx 2,081\)

Cách khác:

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {1 \over {\ln 2}}\)

Tọa độ điểm \(A\left( {0;{1 \over {\ln 2}}} \right)\).
Vậy \(OA = {1 \over {\ln 2}}\)
Ta có \(y' = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}.\ln \sqrt 2 } \over {\ln 2}} = {1 \over 2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^x} \)

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (G) tại A là:

\(y'\left( 0 \right) = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}\)

Trong tam giác OAB, ta có:

\(\frac{{OA}}{{OB}} = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow OB = 2OA = \frac{2}{{\ln 2}}\)

Do đó diện tích tam giác OAB là

\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB  = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\ln 2}}.\frac{2}{{\ln 2}}\) \(= \frac{1}{{{{\ln }^2}2}} \approx 2,081\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.2 trên 6 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store

Đăng ký để nhận lời giải hay và tài liệu miễn phí

Cho phép loigiaihay.com gửi các thông báo đến bạn để nhận được các lời giải hay cũng như tài liệu miễn phí.

Đồng ý Bỏ qua