Giải bài tập Toán 12 Nâng cao, Toán 12 Nâng cao, đầy đủ giải tích và hình học Ôn tập chương II - Hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số..

Bài 90 trang 131 SGK giải tích 12 nâng cao


Giả sử đồ thị (G) của hàm số cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).

Đề bài

Giả sử đồ thị (G) của hàm số \(y = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}} \over {\ln 2}}\) cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (G) tại A cắt trục hoành tại điểm B. Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác OAB (chính xác đến hàng phần nghìn).

Lời giải chi tiết

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {1 \over {\ln 2}}\)

Tọa độ điểm \(A\left( {0;{1 \over {\ln 2}}} \right)\).
Vậy \(OA = {1 \over {\ln 2}}\)
Ta có \(y' = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}.\ln \sqrt 2 } \over {\ln 2}} = {1 \over 2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^x} \)

\(\Rightarrow y'\left( 0 \right) = {1 \over 2}\)
Phương trình tiếp tuyến tại A là: \(y - {1 \over {\ln 2}} = {1 \over 2}(x-0)\)

\(\Rightarrow y = {1 \over 2}x + {1 \over {\ln 2}}\)
Giao điểm B của tiếp tuyến với trục hoành:

Cho \(y=0\) ta được: 

\(\frac{1}{2}x + \frac{1}{{\ln 2}} = 0 \Leftrightarrow x =  - \frac{2}{{\ln 2}} \) \(\Rightarrow B\left( { - {2 \over {\ln 2}};0} \right)\) suy ra \(OB = {2 \over {\ln 2}}\)

Vậy \({S_{OAB}} = {1 \over 2}OA.OB \) \(= {1 \over 2}.{1 \over {\ln 2}}.{2 \over {\ln 2}} = {1 \over {{{\ln }^2}2}} \approx 2,081\)

Cách khác:

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {1 \over {\ln 2}}\)

Tọa độ điểm \(A\left( {0;{1 \over {\ln 2}}} \right)\).
Vậy \(OA = {1 \over {\ln 2}}\)
Ta có \(y' = {{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}.\ln \sqrt 2 } \over {\ln 2}} = {1 \over 2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^x} \)

Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (G) tại A là:

\(y'\left( 0 \right) = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}\)

Trong tam giác OAB, ta có:

\(\frac{{OA}}{{OB}} = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow OB = 2OA = \frac{2}{{\ln 2}}\)

Do đó diện tích tam giác OAB là

\({S_{OAB}} = \frac{1}{2}OA.OB  = \frac{1}{2}.\frac{1}{{\ln 2}}.\frac{2}{{\ln 2}}\) \(= \frac{1}{{{{\ln }^2}2}} \approx 2,081\)

 Loigiaihay.com


Bình chọn:
3.2 trên 6 phiếu
Bài tiếp theo

>> Xem thêm

Luyện Bài Tập Trắc nghiệm Toán 12 - Xem ngay

Báo lỗi - Góp ý

Group Ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Các bài khác cùng chuyên mục


App Loigiaihay trên google play store App Loigiaihay trên apple store

Copyright © 2021 loigiaihay.com

DMCA.com Protection Status
App Loigiaihay trên apple store App Loigiaihay trên google play store